December 05 2016 16:33:18
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
запрещенная энергетическая зона
Физические основы информации

Благодаря взаимодействию электронов с внутрикристаллическим полем происходит их коллективизация, т.е. теперь электроны нельзя рассматривать как принадлежащие конкретному атому кристалла. Для описания стационарных состояний коллективизированных электронов кристалла используются приближения слабой и сильной связи. Эти приближения отличаются выбором функций img472 в разложении (II.8.7).

Если кинетическая энергия электрона в кристалле много больше его энергии связи в изолированном атоме (энергии ионизации), используется приближение слабой связи. В этом случае в качестве функций img473 выбираются координатные части волновых функций стационарных состояний свободных электронов (волн де Бройля)

img474.                                                                                      (II.8.10)

С учетом теоремы Блоха волновую функцию стационарного состояния электрона в кристалле следует записать в виде

img475,                                                                                          (II.8.11)

где img476 – вектор обратной решетки, img477, img478, img479, img480, img481 – объем элементарной ячейки кристалла. Отметим, что img482 и img483.

Суперпозиция различных состояний свободного электрона возникает благодаря взаимодействию электрона кристалла с внутрикристаллическим полем, которое рассматривается как возмущение, меняющее движение свободного электрона. Согласно теории возмущений энергию стационарного состояния img484 можно записать следующим образом

img485,                                                       (II.8.12)

где

img486, img487.                                              (II.8.13)

Теорию возмущений нельзя использовать, если знаменатель одного из слагаемых суммы (II.8.12) обращается в нуль.

img488,     img489.                                                   (II.8.14)

Физически это означает полное отражение волны де Бройля на периодическом потенциале кристаллической решетки (брэгговское отражение). В этом случае длина волны де Бройля λ удовлетворяет условию Брэгга – Вульфа

2d·sinθ = mλ,  m = 1,2,3,… ,                                                                             (II.8.15)

где θ – угол между направлением распространения волны и плоскостью расположения частиц кристалла, d – расстояние между соседними плоскостями частиц кристалла. При выполнении условия (II.8.15) две волны, отраженные от соседних слоев частиц, находятся в фазе и, интерферируя, усиливают друг друга. В результате интерференции всех волн, отраженных на N слоях частиц кристалла, энергетический коэффициент отражения пропорционален N2. При достаточно большом значении N возникает полное отражение волны де Бройля.

Существование полного отражения волн де Бройля означает возникновение запрещенной зоны энергии, для которых отсутствуют стационарные состояния электрона. Для иллюстрации рассмотрим движение электрона вдоль оси Х, перпендикулярно которой на равном расстоянии d расположены плоскости частиц, на которых происходит отражение. Согласно условию Брэгга – Вульфа полное отражение волны де Бройля должно наблюдаться, если

img490                                               (II.8.16)

Для каждого значения kxm возникает запрещенный интервал энергий

Evm < E< Egm ,                                                                                                               (II.8.17)

для которых не существуют стационарные состояния электрона. На рисунке приведена качественная зависимость E(k) для этого случая. Ширина

запрещенной зоны

img491,                                                                                      (II.8.18)

где величина Ug определяется выражением (II.8.13).

Если кинетическая энергия электрона в кристалле много меньше его энергии в изолированном атоме, то для описания коллективизированных состояний электронов кристалла используется приближение сильной связи. В этом случае базисными функциями в разложении (II.8.7) являются координатные части φa волновых функций электронов изолированного атома

img492,                                                                                      (II.8.19)

где вектор img493 определяет положения атомов кристаллической решетки, img494 – вектор трансляции (см. (II.8.3)).

Энергия стационарного состояния с волновой функцией, определяемой (II.8.19), согласно уравнению Шредингера имеет вид

img495                                                                                   (II.8.20)

и зависит от степени сближения атомов при образовании кристалла. Поскольку все атомы кристалла одинаковые, то отдельно взятый энергетический уровень изолированного атома без учета взаимодействия атомов следует считать вырожденным, причем степень вырождения равна числу N атомов кристалла (электрон может занимать один и тот же энергетический уровень в любом атоме кристалла). Взаимодействие между атомами снимает это вырождение энергетических уровней. Каждый энергетический уровень расщепляется на pN подуровней, где p – степень вырождения рассматриваемого энергетического уровня изолированного атома.

Здесь следует отметить определенную аналогию с теорией Дебая для решеточной теплоемкости, где взаимодействие между 3N одинаковыми гармоническими осцилляторами снимает вырождение по частоте и приводит к возникновению энергетического спектра из 3N различных частот.

Коллективизированные электрона кристалла являются квазичастицами, поскольку несут информацию о взаимодействии со всеми атомами кристалла, а их характерестики существенно отличаются от характеристик свободных электронов. В общем случае энергию твердого тела можно записать как сумму энергий разного рода квазичастиц, являющихся элементарными носителями движения (механического, электрического, магнитного и т.д.) в системе взаимодействующих атомов. Система квазичастиц во многих отношениях аналогична газу, однако всегда следует отметить в виду, что структурные единицы движения в твердом теле связаны с коллективным движением всей совокупности соответствующих частиц твердого тела.

Энергетическая ширина расщепления атомного энергетического уровня растет с уменьшением расстояния между соседними атомами d. Все подуровни одного атомного энергетического уровня образуют разрешенную энергетическую зону, где существуют стационарные состояния электрона. Соседние энергетические зоны отделены друг от друга запрещенными энергетическими зонами, где нет стационарных состояний электрона. Для кристалла с линейным размером ~ 1 см энергетическая ширина разрешенных и запрещенных зон ~10 эВ, расстояние между соседними подуровнями в разрешенной зоне ~10-22 эВ. С увеличением энергии ширина зон обычно растет.

Таким образом, разные подходы к решению одночастичной задачи нахождения энергетического спектра электрона в кристалле показывают, что система дискретных энергетических уровней изолированного атома благодаря взаимодействию атомов кристалла трансформируется в систему разрешенных и запрещенных энергетических зон.

Решение многочастичной задачи, где находится энергия стационарного состояния всей системы электронов сводится к распределению этих электронов по энергетическим подуровням разрешенных зон в соответствии с принципом Паули. Рассмотрим состояние с наименьшей энергией, соответствующее Т =0 К. Энергетическая зона, полностью заполненная электронами и расположенная наиболее высоко по энергетической оси, называется валентной. Все разрешенные энергетические зоны, расположенные по энергетической оси ниже валентной, также полностью заполнены электронами. Напомним, что согласно принципу Паули в полностью заполненной энергетической зоне может находиться не более 2pN электронов, где pN – число энергетических подуровней в зоне.

Ближайшая сверху по энергетической оси разрешенная зона, которая заполнена частично или полностью свободна, называется зоной проводимости. Между валентной зоной и зоной проводимости находится запрещенная зона.

Если изолированный атом имеет нечетное число валентных электронов, зона проводимости заполнена частично. Электроны такой зоны за счет взаимодействия с внешними полями и столкновений могут увеличивать свою энергию, переходя на более высокий по энергетической оси подуровень, или уменьшать свою энергию, переходя на более низкий подуровень. Таким образом, электроны зоны проводимости под действием электрического поля могут создавать электрический ток, протекание которого связано с энергообменом носителей тока как с электрическим полем, так и кристаллической решеткой. Соответствующие кристаллы, у которых есть частично заполненные зоны проводимости, относятся к проводникам. Поведение электронов в зоне проводимости можно описать с помощью модели свободных электронов, рассмотренной в лекции № 7.

Если изолированный атом имеет четное число валентных электронов, зона проводимости при Т = 0К не содержит электронов и кристалл является диэлектриком (изолятором), если ширина запрещенной зоны между валентной зоной и зоной проводимости

img496.                                                                                                         (II.8.21а)

или полупроводником, если

img497.                                                                                                            (II.8.21б)

Здесь Ev определяет потолок валентной зоны, а Eg – дно зоны проводимости. Для германия Eg - Ev = 0,75эВ.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.05 секунд 4,195,122 уникальных посетителей