Законы электрического поля в диэлектриках

Электродинамика

  • Закон Кулона

  • Рис. 5.8.

    Вычислим поле, которое создаёт в бесконечном однородном диэлектрике заряд +q, равномерно распределённый по поверхности шара радиуса R0 (рис. 5.8.). На границе диэлектрика и шара возникнет отрицательный связанный заряд:

    img0261.

    Здесь s’ = P = e0cE(R0) — поверхностная плотность связанного (поляризационного) заряда. Так как e = 1 + c, то c = e – 1 и:

    img0262,

    где E(R0) — напряжённость поля в диэлектрике на границе с шаром.

    Напряжённость поля в диэлектрике меняется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра шара, то есть:

    img0263.

    Тогда img0264 и q’ = 4pr2e0(e – 1) × r2E(r).

    Напряжённость поля на расстоянии r от центра шара будет определяться как векторная сумма напряжённостей поля заряда q и поля связанного заряда q’:

    img0265.

    Отсюда следует, что искомое поле в диэлектрике:

                        img0266.                  (5.13)

    В однородном диэлектрике поле заряженной сферы (и точечного заряда) уменьшается в e раз по сравнению с полем в вакууме.

    1. Теорема Остроградского-Гаусса

    Выделим в диэлектрике замкнутую гауссову поверхность (рис. 5.9). При однородной поляризации диэлектрика на его поверхности возникнут связанные заряды, но внутри поверхности объёмных поляризационных зарядов не будет.

    Рис. 5.9.

    Ситуация меняется в случае неоднородной поляризации диэлектрика, которую мы здесь не рассматриваем.

    Вычислим заряд, покидающий выделенный объём через гауссову поверхность в результате поляризации (рис. 5.10):

    img0267,

    где s’ — локальная поверхностная плотность поляризационных зарядов, возникших на выделенной поверхности dS.

    Рис. 5.10.

    q’ — заряд, покинувший объём.

    Тогда внутри гауссовой поверхности возникнет поляризационный заряд:

                        img0268.                       (5.14)

    Сформулируем теперь теорему Остроградского-Гаусса:

                        img0269.                  (5.15)

    Заряд, определяющий поток вектора напряжённости через гауссову поверхность, в случае диэлектрика складывается из «стороннего» заряда q и заряда qпол, возникшего в объёме в результате поляризации диэлектрика.

    Воспользуемся результатом (5.14) и перепишем (5.15) ещё раз:

    img0270

    img0271

    Здесь img0272 (см. 5.10) — вектор электрического смещения. Значит, теорему Остроградского-Гаусса для электрического поля в диэлектрике можно сформулировать так:

                             img0273.                       (5.16)

    Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме несвязанных (свободных) зарядов, заключённых внутри этой поверхности.

    Ещё раз напомним, что вектор электрического смещения (индукции) связан с вектором напряжённости электрического поля (5.12):

    img0274.

    Преимущество теоремы Остроградского-Гаусса в форме (5.16) состоит в том, что теперь для расчёта потока не нужно знать величину поляризационных зарядов qпол, возникающих в диэлектрике. Поток вектора электрической индукции определяется только суммой свободных зарядов q.

    Поделиться:
    Нет комментариев

      Добавить комментарий

      Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.