December 10 2016 05:01:15
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
закон сохранения энергии
Основы электростатики

В витках катушки индуктивности наряду с электростатическим полем существует вихревое электрическое поле, определяющее ЭДС самоиндукции

img760.

Таким образом, катушку индуктивности можно рассматривать как пассивный элемент, на котором имеется падение напряжения (10.5), и как источник ЭДС самоиндукции, при этом

img761.

Для объединения всех выражения (10.3)-(10.5) в уравнение, описывающее квазистационарный  процесс в контуре, можно использовать правила Кирхгофа или закон сохранения энергии.

Рассмотрим сначала последовательный колебательный контур на рис.10а. Если на вход этого контура подается напряжение img762, то согласно закону сохранения энергии

img763,                                               (10.6)

где

img764                                                           (10.7)

- энергия электрического поля в конденсаторе,

img765                                                    (10.8)

- энергия магнитного поля в катушке индуктивности и

img766                                                                                 (10.9)

- мощность тепловых потерь  в резисторе, где происходит преобразование энергии электромагнитного поля в энергию теплового движения.

Из (10.6) – (10.9)  следует уравнение, которое связывает ток J в контуре с зарядом q на конденсаторе,

img767.                                             (10.10)

Это уравнение при заданной зависимости img768(t) содержит две неизвестные функции времени:q(t) и J(t). Для получения второго уравнения, связывающего эти функции, удобно использовать уравнение непрерывности для электрического заряда на конденсаторе, выражающее закон сохранения электрического заряда,

img769.                                                                                  (10.11)

В случае квазистационарного процесса выражение (10.11) определяет ток во всех точках цепи.

Исключая из (10.10) и (10.11) ток J, получим уравнение для заряда на конденсаторе:

img770,                                                           (10.12)

где точки вверху обозначают производные по времени, img771 - коэффициент затухания и img772 - частота собственных (свободных) электрических колебаний в контуре при условии слабого затухания img773.

Для решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка по времени (10.12) необходимо задать два начальных условия, определяющих в некоторой момент времени t=0 исходное состояние колебательного контура. Допустим, что контур замкнут и на него не подается входное напряжение img774. Если на конденсатор подать короткий прямоугольный импульс напряжения высотой img775, причем длительность импульса img776, то в результате конденсатор окажется заряженным до напряжения img777 и имеющим заряд img778.

По окончании импульса напряжения конденсатор начинает разряжаться согласно уравнению

img779                                                                (10.13)

при начальных условиях

img780.                                            (10.14)

Отметим, что наличие в контуре катушки индуктивности исключает какие-либо резкие изменения тока благодаря ЭДС самоиндукции. Это следует из правила Ленца.

В случае слабого затухания приближенное решение уравнения (10.13), удовлетворяющее начальным условиям (10.14), имеет вид

img781.                                                    (10.15)

Ток в контуре описывается выражением

img782.                                          (10.16)

Напряжение на конденсаторе при выбранном направлении обхода контура считается положительным, поэтому ток разрядки является отрицательным, поскольку течет против направления обхода контура.

Согласно (10.15) и (10.16) заряд на конденсаторе и протекающий в контуре ток совершают затухающие гармонические колебания. Частота этих колебаний img783 определяются емкостью С и индуктивностью L контура. Амплитуда колебаний уменьшается по экспоненциальному закону с временем затухания

img784 .                                                                                (10.17)

Это время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Логарифмический декремент затухания

img785                                             (10.18)

определяет число полных колебаний n=1/img786, по истечению которых амплитуда уменьшается в е раз.

Энергии электрического поля в конденсаторе

img787                 (10.19)

и магнитного поля в катушке индуктивности

img788         (10.20)

также совершают затухающие гармонические колебания на удвоенной частоте  img789 и с удвоенным коэффициентом затухания img790. Эти колебания обусловлены преобразованиями энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно. Экспоненциальное уменьшение во времени полной энергии W, где

img791,          (10.21)

связано с преобразованием энергии электромагнитного поля в энергию теплового движения в резисторе.

Скорость уменьшения полной энергии W описывается с помощью добротности

img792,               (10.22)

где img793. Величина img794 есть доля полной энергии электромагнитного поля, которая теряется за 1 период колебаний img795. Если сопротивление резистора R=0, добротность становится бесконечно большой, поскольку отсутствуют потери энергии электромагнитного поля в контуре.

При подаче на вход последовательного контура напряжения

img796,                                                                  (10.23)

где img797 - амплитуда и img798- частота напряжения, то в контуре возбуждается суперпозиция собственных колебаний и вынужденных колебаний, которая описывается следующим решением уравнения (10.12)

img799,       (10.24)

где img800,   img801 - постоянные.

Первый член в правой части (10.24) соответствует собственным колебаниям. Постоянные img802находятся с помощью двух начальных условий, характеризующих состояние контура в момент подачи входного напряжения. Амплитуда собственных колебаний затухает со временем, поэтому их вкладом можно пренебречь, когда

img803.

Второй член в правой части (10.24) соответствует вынужденным колебаниям с амплитудой

img804                                            (10.25а)

и сдвигом img805 по фазе относительно колебаний входного напряжения, где

img806.                                                                (10.25б)

Возможность описания процесса в электрическом колебательном контуре с помощью суперпозиции собственных и вынужденных колебаний связана с линейностью рассматриваемой системы, параметры которой не зависят от динамических характеристик процесса.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.04 секунд 4,204,185 уникальных посетителей