December 03 2016 15:40:05
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
закон распределения скоростей Максвелла
Начала термодинамики

В случае системы невзаимодействующих частиц прямые и обратные процессы есть парные, тройные и т.д. столкновения частиц. Если для прямого парного столкновения частиц начальные скорости img410 и img411 меняются на конечные скорости img412 и img413, то для обратного столкновения частиц конечные скорости img414 и img415меняются на начальные скорости img416 и img417. В силу одинаковости частиц пары частиц, участвующие в прямых и обратных столкновениях, могут быть разными. Согласно принципу детального равновесия числа прямых и обратных парных столкновений в  единицу времени должны быть одинаковыми. Данное равенство должно выполняться для всех видов столкновений частиц.

Анализ показывает, что принцип детального равновесия при столкновениях частиц выполняется, если функция распределения частиц по скоростям имеет следующий вид

img418,                     (8.4)

где с>0 и img419>0- постоянные, img420. Таким образом, временные изменения отдельных компонент img421 скорости частицы, совершающей тепловое движение, являются независимыми случайными процессами.

Постоянные с и img422 находятся соответственно из условия нормировки функции распределения

img423img424

или

img425                   (8.5)

и определения абсолютной температуры T идеального газа

img426img427=img428img429

    img430              

и

img431.                            (8.6)

Здесь img432- постоянная Больцмана и img433 - масса частицы.

С учетом (8.4)-(8.6) одночастичная функция распределения частиц по скоростям в состоянии теплового равновесия при температуре Т принимает вид

img434.                  (8.7)

Выражение (8.7) называется законом распределения скоростей Максвелла (1860г.). Вероятность нахождения любой частицы равновесного идеального газа в элементе img435 подпространства скоростей фазового пространства описывается формулой

img436 .                                            (8.8)

График функции (8.7) приведен на рис. 8.1.

img437

Рис.8.1

Закон распределения скоростей Максвелла можно рассматривать как следствие центральной предельной теоремы теории вероятностей, примененной для суммы случайных приращений скорости частицы, получаемых при её столкновениях.

Функция распределения частиц по абсолютным значениям скорости img438

img439                        (8.9)

описывает вероятность нахождения произвольной частицы в сферическом слое img440, img441 объемом img442 в подпространстве скоростей. График функции (8.9) приведен на рис. 8.2

img443

Рис. 8.2

На основе распределения Максвелла вводятся следующие характерные скорости теплового движения частиц:

1) наиболее вероятная скорость

img444,                            (8.10)

соответствующая максимуму функции img445 и определяемая с помощью уравнения

img446,                                (8.11)

2) средняя скорость

img447 ,                    (8.12)

3) среднеквадратичная скорость

img448 ,                   (8.13)

между которыми выполняются соотношения

img449 .

Все частицы равновесного идеального газа описываются одними и теми же функциями распределения (8.7) и (8.9), поэтому среднее число частиц, находящихся в элементе подпространства скоростей img450, есть просто произведение вероятности нахождения одной частицы на полное число частиц N:

img451,                      (8.14)

а среднее число частиц, находящихся внутри сферического слоя img452определяется соответственно выражением

img453 .                          (8.15)

Формула (8.15) дает среднее число частиц, абсолютное значение скорости которых лежит в интервале V, V+dV.

До сих пор наше рассмотрение было ограничено материальными точками, которые совершают только поступательное движение и обладают тремя степенями свободы. Если молекула состоит из n атомов, то полное число ее степеней свободы равно 3n. Тепловое движение многоатомной молекулы можно представить в виде суперпозиции 1) поступательного движения центра масс молекулы (3 степени свободы), 2) вращательного движения молекулы как целого вокруг трех главных осей инерции молекулы, проходящих через ее центр масс (3 степени свободы), и 3)колебательного движения атомов относительно центра масс (3n-6 степеней свободы, если n>2; 1 степень свободы, если n=2). Отметим, что линейные молекулы, атомы которых расположены на одной прямой, обладают только двумя вращательными степенями свободы, связанными с вращением вокруг двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс молекулы и перпендикулярных к прямой, на которой лежат атомы. В этом случае число колебательных степеней свободы 3n-5.

     Полная средняя энергия теплового движения молекулы записывается в виде суммы соответствующих энергий всех тепловых движений атомов молекулы

img454

img455 .     (8.16)

Здесь М и img456- масса и скорость движения центра масс  молекулы, img457 - момент инерции и угловая скорость вращения молекулы вокруг img458-ой главной оси инерции молекулы, img459 и img460 - соответственно кинетическая и потенциальная энергия img461 - го нормального колебания молекулы. Для гармонических колебаний выполняется равенство

img462 .                                (8.17)

При столкновениях многоатомных молекул происходит обмен энергией между всеми ее степенями свободы, поэтому в условиях равновесия тепловое движение для всех степеней свободы характеризуется одной  температурой Т и выполняется закон о равномерном распределении средней кинетической энергии по всем степеням свободы. При этом на каждую степень свободы приходится средняя кинетическая энергия img463. Полная средняя кинетическая энергия теплового движения многоатомной нелинейной молекулы (атомы не лежат на одной прямой) с учетом (8.16) и (8.17) запишется следующим образом:

img464       (8.18)

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.06 секунд 4,191,157 уникальных посетителей