December 03 2016 02:24:18
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
закон Ома в интегральной форме
Основы электростатики

Для перехода к интегральной форме закона Ома для участка проводника, где действуют только две силы (6.4), введем понятие линии тока как кривой, в каждой точке которой вектор плотности тока img497 направлен по касательной к этой кривой и можно записать, что

img498,

где img499- единичный вектор касательной к линии тока. Для постоянного тока линии тока совпадают с силовыми линиями постоянного электрического поля. Отсюда следует, что для всех точек эквипотенциальной поверхности, где потенциал электрического поля φ=const, единичный вектор нормали img500 к этой поверхности совпадает с соответствующим единичным вектором касательной img501 для линии тока, проходящей через рассматриваемую точку эквипотенциальной поверхности.

Умножим уравнение (6.7) для локального закона Ома на единичный вектор касательной img502 к линии тока, проходящей через заданную точку проводника и проинтегрируем полученное равенство по объему V участка проводника длиной img503, имеющего постоянные площадь S поперечного сечения и удельное сопротивление ρ,

img504,                                                             (6.8)

Здесь

img505 ,                                (6.9)

где J – сила протекающего постоянного тока и использовано равенство img506=img507 для поперечного сечения проводника, являющегося эквипотенциальной поверхностью, и

img508,        (6.10)

где img509 - разность потенциалов на концах проводника, равная падению электрического напряжения U на рассматриваемом участке проводника.

Из (6.8) – (6.10) следует закон Ома для участка проводника (закон Ома в интегральной форме)

img510  ,                                                                                   (6.11)

где

img511 ,                                                                                 (6.12)

- сопротивление однородного  участка проводника. Проводимость G однородного участка проводника запишется в виде

img512 ,                                                                            (6.13)

Согласно проведенным классическим расчетам закон Ома есть следствие второго закона Ньютона для носителей тока.

При движении свободных зарядов в проводнике сила электрического поля (6.4а) совершает положительную работу, идущую на увеличение кинетической энергии направленного движения этих зарядов. Сила торможения (6.4б) совершает отрицательную работу, связанную с преобразованием кинетической энергии направленного движения в тепловую энергию проводника.

Работа сил электрического поля, совершаемая в единицу времени в единичном объеме проводника

img513  ,                             (6.14)

где использованы формулы (6.1),(6.6) и (6.7). Совершенно аналогичным образом можно показать, что работа сил торможения в единицу времени в единичном объеме проводника

img514.              (6.15)

Таким образом, в стационарном случае при протекании постоянного тока в проводнике в полном соответствии с законом сохранения энергии выполняется равенство

img515.

Количество теплоты img516, которое выделяется в единицу времени в единичном объеме проводника, описывается выражениями

img517 ,                                             (6.16)

которые соответствуют различным формулировкам локального (записанного в дифференциальной форме) закона Джоуля-Ленца.

Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме определяет количество теплотыimg518, которое выделяется в единицу времени на участке проводника сопротивлением R при протекании по нему постоянного тока силой J.  Этот закон получается путем интегрирования равенства (6.16) по объему V данного участка проводника, имеющего длину img519 и площадью поперечного сечения S,

img520,                 (6.17)

Здесь предполагается, что проводник однородный (ρ=const) и имеет постоянную площадь поперечного сечения (S=const). Закон Джоуля-Ленца был установлен в 1841 г. Дж.П.Джоулем и подтвержден в 1842 г. точными опытами Э.Х.Ленца.

Полное количество теплоты, выделяемое на участке проводника за интервал времени img521, img522 имеет вид

img523  .                                (6.18)

Отметим, что произведение JU описывает не только тепловую мощность, выделяемую на участке проводника, но и мощность, полученную за счет преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

Как следует из приведенных результатов, для поддержания постоянного тока необходима положительная работа сил электрического поля, компенсирующая потери кинетической энергии направленного движения носителей тока. В случае проводящего контура, согласно теореме о циркуляции вектора напряженности электростатического поля полная работа сил электрического поля при перемещении зарядов по контуру равна нулю. Таким образом, для поддержания постоянного тока в контуре необходима положительная работа сторонних сил, т.е. сил неэлектростатического поля (непотенциальных сил).

С учетом действия сторонней силы img524 - уравнение движения носителей тока (6.5) преобразуется к виду

img525  ,                                                          (6.19)

а скорость дрейфового движения описывается выражением

img526  .                                                             (6.20)

Из (6.20) следует локальный закон Ома для участка проводника, на котором действуют сторонние силы

img527  ,         (6.21)

где img528= img529/е –эффективное электрическое поле, учитывающее действие сторонних сил.

Выполняя точно такие же преобразования выражения (6.21) как при выводе закона Ома (6.10) без учета сторонних сил, нетрудно получить

img530 ,                                                   (6.22)

где img531 - разность потенциалов на концах проводника, равная падению напряжения U на данном участке, и

img532img533,                                             (6.23)

- электродвижущая сила (ЭДС), действующая на рассматриваемом участке и численно равная работе сторонних сил при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2. В системе СИ ЭДС измеряется в вольтах (В).

Объединяя формулы (6.22) и (6.23), можно записать закон Ома в интегральной форме для участка проводника, где действуют сторонние силы,

JR=U+img534.                                                                                 (6.24)

Рассмотрим замкнутую электрическую цепь, содержащую источник постоянной ЭДС img535, локализованной в некотором участке цепи, и резистор сопротивлением R       (рис. 6.1).

img536

Рис. 6.1

Здесь r – внутреннее сопротивление источника ЭДС. Если применить уравнение (6.24) к цепи на рис. 6.1, то в этом случае img537 U=0 и мы приходим к закону Ома для замкнутой цепи с источником постоянной ЭДС

J(R+r) = img538.                                                                              (6.25)

Для цепи на рис. 6.1обычно рассматривают два предельных режима работы.

а) Режим холостого хода, когда R→∞ (цепь разомкнута, J=0) и напряжение на выходе источника ЭДС принимает максимальное значение img539=img540.

б) Режим короткого замыкания, когда R=0,напряжение на выходе источника ЭДС равно нулю, а сила тока достигает максимальной величины img541=img542/r.

Закон сохранения энергии для цепи на рис. 6.1 получается путем умножения закона Ома (6.25) на силу постоянного тока J

img543img544img545 .                                                  (6.26)

Здесь img546img547 - тепловая мощность всей цепи, равная количеству теплоты, которое выделяется в единицу времени внутри источника ЭДС (J2r) и на внешнем участке цепи (J2R), а img548 - электрическая мощность источника ЭДС при протекании через него постоянного тока J от “-“ источника к его “+”. В этом случае внутри источника ЭДС носители тока движутся в направлении сторонней силы, совершающую положительную работу, и против направления электрической силы.

Сторонние силы приводят в движение заряженные частицы внутри генераторов, гальванических элементов, аккумуляторов и других источников тока. Происхождении сторонних сил может быть различным: в генераторах – это силы со стороны вихревого электрического поля, возникающего при изменении во времени магнитного поля, или сила  Лоренца, действующая со стороны магнитного поля на электроны в движущимся проводнике; в гальванических элементах и аккумуляторах – это химические силы и т.д.

На рис. 6.2. приведена простейшая цепь постоянного тока для передачи электрической энергии от источника с выходным напряжением U к потребителю с выходным напряжением Uн. Согласно закону Ома

U=JR+ Uн,                                                                                 (6.27)

где R - полное сопротивление.

img549

Рис. 6.2

Умножая уравнение (6.27) на силу постоянного тока J, получим

img550  ,                                         (6.28)

где Рн – электрическая мощность, получаемая потребителем.

Решение уравнения (6.28) относительно тока J дает

img551  ,                                                           (6.29)

где напряжение на входе цепи должно удовлетворять условию

img552 .                                                                            (6.30)

В (6.29) знак минус берется при условии Рн/J2>R, когда сопротивление нагрузки на выходе цепи больше R, а знак плюс – при условии Рн/J2<R. Для уменьшения тепловых потерь в проводах необходимо, чтобы выполнялось условие img553 и протекающий ток был минимальным.

Коэффициент полезного действия линии постоянного тока может стать сколь угодно близким к 100% , если одновременно повышать входное напряжение U и напряжение нагрузки Uн , причем U- Uн→0. Если

img554,   img555 ,   img556 ,                               (6.31)

то при U→∞, U- Uн→0

img557.        (6.32)

В этом случае

img558.                                                                       (6.33)

В современных линиях передачи постоянного тока напряжение U может достигать несколько сотен тысяч вольт.

Электрическая цепь любой сложности состоит из структурных элементов двух типов: 1)узлов, где соединяются три и более проводников и 2) контуров. Для этих двух структурных элементов справедливы два правила Кирхгофа, позволяющие рассчитать любую электрическую цепь постоянного тока.

Согласно первому правилу Кирхгофа, которое формулируется для узла, алгебраическая сумма токов для любого узла всегда равно нулю

img559                                                                                   (6.34)

где суммирование ведется по всем n проводникам, соединяющимся в узле. Токи, втекающие в узел, берутся со знаком “+”, а токи, вытекающие из узла,- со знаком “ - ”. В стационарном режиме потенциал узла сохраняется постоянным, а уравнение (6.34) можно рассматривать как частный случай уравнения непрерывности (6.3).

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.04 секунд 4,189,940 уникальных посетителей