December 10 2016 05:01:52
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Закон Ома в дифференциальной форме
Электродинамика

Представим себе электрический ток не в привычном для нас проводнике, а  однородной изотропной проводящей среде. В своём направленном движении носители заряда перемещаются по траекториям, которые называются «линии тока». Выделим в среде небольшую поверхность DS. Линии тока, коснувшиеся границы этой поверхности, в дальнейшем вырезают в пространстве «трубку тока» (рис. 6.4.). Особенность этой трубки состоит в том, что заряженные частицы, движущиеся внутри трубки тока, не пересекают её боковую поверхность, то есть они никогда не покидают свою трубку тока.


Рис. 6.4.

Выделим в трубке тока два эквипотенциальных сечения DS1 и DS2, отстоящие друг от друга на расстоянии Dl (рис. 6.5.). Потенциалы этих сечений  j1 и j2 = j1 + Dj. Для выделенного элемента трубки тока запишем закон Ома (6.11):

img0322.


Рис. 6.5.

Сократив DS и введя удельную электропроводимость l = img0323, получим:

img0324.

Этот результат становится совсем точным, если перейти к пределу, устремив Dl к нулю. Тогда DS = DS1 = DS2, так как трубка становится цилиндрической. Кроме того:

                    img0325.                  (6.12)

Учитывая этот результат, плотность тока запишем так:

i = lE,

или в векторном виде:

                         img0326.                       (6.13)

Уравнение (6.13) — математическая запись закона Ома в дифференциальной форме. В этом законе связываются две «локальные» характеристики тока: плотность тока img0327 в любой точке пространства и напряжённость электрического поля img0328 в той же точке. В соответствии с этим законом, плотность электрического тока прямо пропорциональна напряжённости поля в рассматриваемой точке пространства.

В приведённых рассуждениях есть момент, который не может не настораживать: в законе (6.13) Е — напряжённость электрического поля в проводящей среде с током. А для вычисления этой характеристики мы воспользовались связью напряжённости и потенциала электростатического поля в вакууме (6.12). Однако можно показать, что напряжённость электрического поля внутри однородной проводящей среды совпадает с электростатическим полем, которое существует в вакууме, если обеспечивается то же пространственное распределение потенциала, что и в проводящей среде при наличии тока (см., например, [2]).

Теперь на примере расчёта тока утечки в сферическом конденсаторе покажем, как используется закон Ома в дифференциальной форме для решения вполне реальных задач.

  1. Пример расчёта силы тока в проводящей среде

Пространство между обкладками сферического конденсатора заполнено проводящей средой с удельной электропроводимостью img0329. Какой ток потечёт в таком конденсаторе, если потенциалы электродов j1 и j2 поддерживать постоянными (рис. 6.6.)?


Рис. 6.6.

Задача обладает сферической симметрией. Выделим сферическую эквипотенциальную поверхность радиуса r. Во всех точках этой поверхности не только потенциал одинаков, но и плотность тока по величине одна и та же (6.13):

i = lEr,

где Er — напряжённость поля в проводящей среде на поверхности выделенной сферы r. Это поле совпадает с электростатическим полем в вакууме при разности потенциалов на обкладках конденсатора U = j1 – j2. Несложно показать, что для сферического конденсатора:

img0330.

(При выводе этого выражения, можно воспользоваться следующими ранее полученными соотношениями: img0331 (2.19), img0332 (4.8), img0333 (4.5)).

Теперь, воспользовавшись законом Ома в дифференциальной форме, вычислим плотность тока

img0334

и полный ток, протекающий через замкнутую поверхность выделенной сферы:

img0335.

Величина этого тока не зависит, конечно, от радиуса r выделенной сферической поверхности: I ¹ f(r). Зная закон сохранения электрического заряда, этот результат можно было бы предсказать a priori.

Теперь легко вычислить электрическое сопротивление проводящего слоя в конденсаторе:

img0336.

Нелишне ещё раз напомнить, что здесь img0337 — удельное сопротивление среды, R — сопротивление проводящего слоя, а вот R1 и R2радиусы сферических обкладок конденсатора.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Отлично! Отлично! 0% [Нет голосов]
Очень хорошо Очень хорошо 0% [Нет голосов]
Хорошо Хорошо 0% [Нет голосов]
Удовлетворительно Удовлетворительно 0% [Нет голосов]
Плохо Плохо 100% [1 Голос]

Время загрузки: 0.05 секунд 4,204,195 уникальных посетителей