December 10 2016 05:02:15
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
закон Дюлонга и Пти
Физические основы информации

При вычислении E(T) возникают физическая проблема определения величины img428 и математическая проблема выполнения суммирования. Мы рассмотрим три различных подхода к решению этой задачи. В классической статистической физике показывается, что в условиях термодинамического равновесия средняя энергия теплового движения одномерного гармонического осциллятора при абсолютной температуре T

img429                                                                                                                                 (II.7.10)

где k – постоянная Больцмана. Тогда полная энергия всех гармонических осцилляторов кристалла.

img430                                                                                                                            (II.7.11)

а энергия 1 моля вещества

img431                                                                                           (II.7.12)

где img432 – число Авогадро, img433Дж/моль∙К – универсальная газовая постоянная.

Отсюда следует закон Дюлонга и Пти (1819г.) для молярной теплоемкости кристаллов

img434                                                                                                                       (II.7.13)

Величина Cм одинаковая для всех кристаллов и не зависит от температуры. Экспериментальные исследования установили, что величина Cм зависит от T, причем при img435 img436, а закон Дюлонга и Пти приближенно выполняется лишь в области достаточно большой температуры. Типичная зависимость молярной теплоемкости кристалла от Т приведена на рисунке.


                          Cм

                         3R





                      0                       Tхар        T

Для каждого кристалла существует своя характерная температура Tхар, при превышении которой выполняется закон Дюлонга и Пти. Например, для свинца Tхар ≈ 300К, для графита Tхар ≈ 3000К.

В более точной квантовой теории Эйнштейна используется квантование энергии гармонического осциллятора, что дает следующую формулу для средней энергии теплового движения одномерного гармонического осциллятора с частотой img437 собственных колебаний (без учета энергии нулевых колебаний)

img438                                                                                                                       (II.7.14)

В теории Эйнштейна предполагалось, что все гармонические осцилляторы кристалла имеют одинаковую частоту

img439                                                                               (II.7.15)

поэтому

img440                   (II.7.16)

Отсюда находим новое выражение для величины молярной теплоемкости

img441                     (II.7.17)

Формула (II.7.17) дает классический закон Дюлонга и Пти в области высоких температур, а так же вводит новую величину img442, позволяющую в принципе объяснить различие характерной температуры для разных кристаллов. Согласно (II.7.17) при T→0 Cм→0 по экспоненциальному закону, однако экспериментальные измерения показали, что в области сверхнизких температур

img443                                                                                                                                 (II.7.18)

что не согласуется с выражением (II.7.17).

В теории П. Дебая устраняется основной недостаток в подходе Эйнштейна – неучет взаимодействия соседних гармонических осцилляторов. Это взаимодействие снимает вырождение системы гармонических осцилляторов по частоте и в результате возникает счетное множество различных частот колебаний img444, i = 1, 2,…,3N. Однако теперь каждый гармонический осциллятор с частотой img445 описывает согласованное определенным образом коллективное движение всех N частиц кристалла (нормальные колебания кристалла). В этом представлении колебательного движения кристалла взаимодействие между отдельными коллективными гармоническими колебаниями уже отсутствуют.

Полная энергия теплового движения всех новых гармонических осцилляторов заменяется следующим образом

img446                               (II.7.19)

где спектральная плотность гармонических осцилляторов

img447                                                        (II.7.20)

максимальная частота колебаний (частота Дебая)

img448                                                                                                                       (II.7.21)

d – постоянная кристаллической решетки и img449, img450 - скорость продольных упругих волн, img451 - скорость поперечных упругих волн.

Расчеты молярной теплоемкости показывают, что

img452                                                  (II.7.22)

где величина img453 называется температурой Дебая. Теория Дебая правильно описывает как высокотемпературную, так и низкотемпературную асимптоту молярной теплоемкости и связывает температуру Дебая с параметрами кристалла. Дальнейшее развитие теории теплоемкости кристаллов основано на использовании дискретной модели кристалла и более точном расчете спектральной плотности img454 с учетом типа кристаллической решетки. Соответствующие расчеты, как правило, возможны только численным методом.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.05 секунд 4,204,202 уникальных посетителей