December 10 2016 04:58:34
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Закон Био-Савара и Теорема о циркуляции для магнитного поля
Методические пособия к решению задач по курсу Электрическтво и магнетизм

Источником магнитного поля являются движущиеся заряды и токи. Опыт показывает, что индукция магнитного поля заряда q, движущегося со скоростью img091, пропорциональна величине заряда, его скорости и обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до точки наблюдения r. Вектор индукции перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектор скорости img092и вектор img093, проведенный из места нахождения заряда в точку наблюдения. Направление вектора индукции определяется направлением движения правого винта при его вращении от вектора скорости к радиусу-вектору точки. В системе единиц СИ коэффициент пропорциональности составляет m0=1.256 10-6 Гн/м.

            img094

Опыт показывает также, что для магнитного поля имеет место принцип суперпозиции: магнитое поле многих движущихся зарядов равно векторной сумме полей, создаваемых каждым из зарядов по отдельности. Если плотность движущихся со скоростью img095 зарядов в малой окрестности пространства объемом dV составляет n, то число их составляет dN=ndV. Так как плотность тока есть img096, то в соответствии с принципом суперпозиции вклад в индукцию этих зарядов будет

img097

Это закон Био-Савара в дифференциальной форме. Если ток I проходит по длинному тонкому проводнику, то img098, где img099 - вектор отрезка проводника длиной dl в направлении тока. Тогда закон Био-Савара можно представить в интегральной форме:

            img100

Так как ток всегда протекает по замкнутому контуру L, то полное поле тока будет

            img101img102

В математике доказывают теорему о циркуляции вектора индукции магнитного поля. Она формулируется следующим образом. Пусть в пространстве имеется произвольная замкнутая кривая – замкнутый контур L. Пусть также на этот контур опирается произвольная поверхность S. В каждой точке контура L можно провести касательную и определить проекцию Bl вектора магнитной индукции на направление касательной и дифференциал длины дуги кривой dl. В каждой точке поверхности можно провести нормаль к поверхности и определить проекцию вектора плотности тока jn на направление нормали и дифференциал площади поверхности dS. Как следствие закона Био-Савара между векторами индукции магнитного поля и плотности тока имеет место интегральная связь:

            img103

которая представляет собой теорему о циркуляции в интегральной форме. Здесь I – полный ток, пронизывающий замкнутый контур.

В общем случае теоремы о циркуляции недостаточно, чтобы определить вектор индукции магнитного поля. Если магнитное поле по условиям задачи обладает высокой симметрией, то теорему о циркуляции можно использовать для определения поля.

Для магнитного поля имеет место теорема Гаусса. Так как магнитных зарядов не существует, то теорема Гаусса имеет простой вид. Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора магнитной индукции равен нулю:

            img104

  1. По круговоаму витку радиуса R циркулирует ток I. Определить индукцию магнитного поля на оси витка в зависимости от расстояния х от его центра. Построить график этой зависимости. Исследовать предельные случаи x<<R и x>>R.


Решение














Вследствие осевой симметрии полный вектор индукции на оси Ох направлен вдоль этой оси.

По закону Био-Савара вклад в проекцию вектора индукции магнитного поля на ось Ох от элемента длины кольца dl, расположенного в точке А (на рисунке) составляет dBх=(m0/4p)(Idl/r2)sina. Вектор img105 лежит в плоскости, проходящей через ось Ох и точку А и перпендикулярен img106. Величина sina=R/r одна и та же для всех точек кольца. Полная величина магнитной индукции составляет

B(x)=(m0/2)IR2/r3=(m0/2)IR2/(R2+x2)3/2

При x<<R B(x)=m0I/2R , при x>>R B(x)=(m0/2)IR2/x3.

  1. Длинный проводник с током I = 3А изогнут в форме прямого угла. Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе угла на расстоянии L = 10 см от вершины угла О.


Решение


Сначала найдем индукцию магнитного поля, создаваемого прямолинейным отрезком длиной D проводника с током I. Пусть R – длина перпендикуляра, проведенного на отрезок из точки наблюдения, r – расстояние от точки наблюдения до элемента отрезка длиной dl, da=dl/r угол, под которым виден элемент отрезка dl из точки наблюдения. Пусть также a - угол между перпендикуляком к отрезку и прямой, проведенной из точки наблюдения к элементу отрезка, тогда R=rcosa. По закону Био-Савара вклад в индукцию магнитного поля элемента отрезка dl составит

          dB=(m0/4p)(Idl/r2)= (m0/4p)(Icosa da/R).

После интегрирования по длине отрезка получается

          B=(m0/4p)(I/R)(sina1 - sina2).

Здесь a1 и a2 - углы между перпендикуляком к отрезку и прямыми, проведенными из точки наблюдения к концам отрезка.

Индукция магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе угла на расстоянии L от вершины угла, создается двумя лучами, являющимися сторонами угла. Вследствие симметрии относительно биссектрисы угла вклад в индукцию каждого из лучей одинаков.

Для одного луча a1=p/2, a2=-p/4, R=Lcos(p/4), и

      img107 = 2 10-6(3/0.1)0.42=2.48 10-5 Тл

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.05 секунд 4,204,148 уникальных посетителей