Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 75. Техника быстрого счета. Быстрый устный счет

Содержание

Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета (2)

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся  на  75. Техника быстрого счета. Быстрый устный счет

загрузка…

Перескочить к меню — Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета

84K, 5с.

(скачать 2) — Яков Исидорович Перельман

Настройки текста:

Цвет фоначерныйсветло-черныйбежевыйбежевый 2персиковыйзеленыйжелтыйсинийсерыйкрасныйбелый Цвет шрифтабелыйзеленыйжелтыйсинийтемно-синийсерыйсветло-серыйтёмно-серыйкрасный Размер шрифта14px16px18px20px22px24px Насыщенность шрифтажирный Ширина текста400px500px600px700px800px900px1000pxПоказывать менюУбрать меню

Ленинград.

От составителя

В настоящее время в продаже нет руководств, содержащих наставления к быстрому выполнению счетных операций в уме.

Мы сочли поэтому полезным собрать в краткой брошюре наиболее простые и легко усваиваемые приемы быстрого устного счета, Они рассчитаны на средние способности имеют в виду не публичные выступления на эстраде, а потребности повседневной жизни.

Пользующиеся книжечкой должны помнить, что успешное овладение ее указаниями предполагает не механическое, а вполне сознательное распоряжение приемами и, кроме того, более или менее продолжительную тренировку. Зато, усвоив рекомендуемые приемы, можно выполнять быстрые расчеты в уме с безошибочностью письменных вычислений.

§ 1.

Чтобы устно умножить число на однозначный множитель (например, 27 X 8) выполняют действие, начиная с умножения не единиц, как при письменном умножении, а иначе: умножают сначала десятки множимого (20X8 = 160), затем единицы (7*8 =56) и оба результата складывают.

Еще примеры:

34*7=30*7+4*7=210+28=238

17*6=40*6+7*6=240+42=282

§ 2.

Полезно знать на память таблицу умножения до 19*9:

Зная эту таблицу, можно умножение например, 147*8 выполнить в уме так: 147*8-140*8+7*8= 1120 + 56= 1176

§ 3

Когда одно из умножаемых чисел разлагается на однозначные множители, удобно бывает последовательно умножать на эти множители. Например: 225*6=225*2*3=450*3=1350

§ 4

Умножение на двузначное число стараются облегчить для устного выполнения, приводя это действие к более привычному умножению на однозначное число.

Когда множимое однозначное, мысленно переставляют множители и выполняют действие, как указано в § 1. Например:

6*28=28*6=120+48=168

§ 5.

Если оба множителя двузначные, мысленно разбивают один из них на десятки и единицы. Например:

29*12=29*10+29*2=290+58= 348

41*16=41*10+41*6 = 410+246 =656

(или 41*16=16*41 = 16*40+16*1=640+16=656

Разбивать на десятки и единицы выгоднее тот множитель, в котором они выражены меньшими числами.

§ 6.

Если множимое или множитель легко разложить в уме на однозначные числа (напр., 14 = 2*7), то пользуются этим, чтобы уменьшить один из множителей, увеличив другой во столько же раз (ср. § 3). Например:

45*14 =90*7=630

§ 7.

Чтобы устно умножить число на 4, его дважды удваивают. Например:

112*4 =224*2=448

335*4 = 670*2 =1340

§ 8.

Чтобы устно умножить число на 8, его трижды удваивают. Например:

217*8 = 434*4=868*2=1736

(Eще удобнее: 217*8=200*8 +17*8= 1600*13=1736.

§ 9.

Чтобы устно разделить число на 4, его дважды делят пополам. Например:

76:4 =38:2=19

236:4=118:2=59

§ 10.

Чтобы устно разделить число на 8, его трижды делят пополам. Например:

464:8=232:4=116:2=58

516:8=258:4=129:2= 64 1/2

§ 11.

Чтобы устно умножить число на 5 умножают его на 10/2, т. е. приписывают к числу ноль и делят пополам. Например:

74*5= 740:2= 370

243*5=2430:2=1215

При умножении на 5 числа четного удобнее сначала делить пополам и к полученному приписать ноль. Например:

74*5 = 74/2*10=370

§ 12.

Чтобы устно умножить число на 25, умножают его на 100/4 , т. е.—если число кратно 4-х —делят на 4 и к частному приписывают два ноля. Например:

72*25=72/4*100= 1800

Если же число при делении на 4 дает остаток, то прибавляют

при остатке: к частному

1 25

2 50

3 75

Основание приема ясно из того, что

100:4=25;

200:4=50;

300:4=75

§ 13.

Чтобы устно умножить число на 11/2 прибавляют к множимому его половину. Например:

34*11/2 = 34 + 17=51

23*11/2=23 + 111/2 = 341/2 (или 34,5)

§ 14.

Чтобы устно умножить число на 11/4 Прибавляют к множимому его четверть. Например:

48*11/4 =48 +12=60

58*11/4 = 58+14 1/2=721/2 или 72,5

§ 15

Чтобы устно умножить число на 21/2. к удвоенному числу прибавляют половину множимого.

Например: 18*21/2.=36+9= 45;

39*21/2.= 78 + 191/2.= 971/2 (или 97,5)

Другой способ состоит в умножении на 5 и делении пополам:

18*21/2 = 90:2 = 45

§ 16.

Чтобы устно умножить число на 3/4 (т. е. чтобы найти 3/4 этого числа), умножают число на 11/2 и делит пополам. Например:

30 * 3/4 = (30+15)/2= 221/2 (или 22,5)

Видоизменение способа состоит в том, что от множимого отнимают его четверть или к половине множимого прибавляют половину этой половины.

§ 17

Умножение на 15 заменяют умножением на 10 и на 11/2, (потому что 10*11/2 =15) Например:

18*15=18*11/2*10=270

45*15=450+225=675

§ 18.

Умножение на 125 заменяют умножением на 100 и на 11/4 (потому что 100*11/4=125). Например:

26*125 = 26*100*11/4 = 2600 + 650 = 3250

47*125 = 47*100*11/4 = 4700+4700/4= 4700+1175 = 5875

§ 19.

Умножение на 75 заменяют умножением на 100 и на 3/4 (потому что 100*3/4=75). Например:

18*75= 18*100*3/4 =1800* 3/4 =(1800 + 900)/2=1350

Примечание. Некоторые из приведенных примеров удобно выполняются также приемом § 6

18*15 = 90*3 = 270

26*125 = 130*25 = 3250

§ 20.

Чтобы устно умножить число на 9, приписывают к нему ноль и отнимают множимое. Например:

62*9=620-62=600—42=558

73*9=730-73=700—43=657

§ 21

Чтобы устно умножить число на 11, приписывают к нему ноль и прибавляют множимое. Например:

87*11=870+87=957

§ 22

Чтобы устно разделить число на 5, отделяют запятой в удвоенном числ-последнюю цифру. Например:

68:5=136:10=13,6

237:5 =474:10=47,4

§ 23

Чтобы устно разделить число на 11/2 делят удвоенное число на 3. Например:

36:11/2=72:3=24

53:11/2=106:3=351/3

§ 24.

Чтобы устно разделить число на 15, делят удвоенное число на 30. Например

240:15=480:30=48:3=16

462:15=924:30=3024/30=304/5=30,8 (или 924:30 =308:10=30,8)

$ 25.

Чтобы возвысить в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например 85), умножают число десятков (8) на него же плюс единица (8*9=72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еще примеры:

252; 2*3=6; 625

452; 4*5= 20; 2025

1452; 14*15 = 210; 21025

Прием этот вытекает из формулы (10х+5)2 = 100х2+100х+25=100х(х+1)+25

§ 26.

Сейчас указанный прием приложим и к десятичным дробям, оканчивающимся цифрой 5:

8,52 = 72,25

14,52=210,25

0,352 = 0,1225f и т. п.

§ 27.

Так как 0,5= ½, а 0,25 = ¼, то приемом § 25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчивающихся дробью ½:

(8½ )2 =72 ¼

(14½)2 = 210 ¼ и т п.

§ 28.

При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (a +-b)2 = a2 +b2+- 2ab.

Например: 412=402 +1+2*40= 1601+80= 1681

692=702+1-2*70=4901-140=4761

362 =(35+1)2=1225+1+ 2*35=1296

Прием удобен для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 и 9.

§ 29.

Пусть требуется выполнить устно умножение 52*48

Мысленно представляем эти множители в виде (50 + 2)*(50—2)

и применяем приведенную в заголовке формулу:

(50+2)*(50—2)=502-22= 2496

Подобным же образом поступают во всех вообще случаях, когда один множитель удобно представить в виде суммы двух чисел, другой — в виде разности тех же чисел:

69*71=(70—1)*(70+1)=4899

33*27=(30+3)*(30—3)=891

53*57=(55—2)*(55+2)=3021

84*86=(85-1)*(85+1)=7224

§ 30.

Указанным сейчас приемом удобно пользоваться и для вычислений следующего рода:

7 ½*6½=(7 + ½ )*(7 — ½)=48 ¾

11 3/4*12 1/4= (12 — 1/4)*(12 +1/4) =143 15/16

Полезно запомнить:

37*З =111

Запомнив это, легко выполнять устно умножение числа 37 на 6, 9, 12 и т. п.

37*6=37*3*2=222

37*9=37*3*3=333

37*12=37*3*4=444

37*15=37*3*5 =555 и т. д,

7*11*13=1001

Запомнив это, легко выполнять устно умножения следующего рода:

77*13=1001

77*26=2002

77*39=3003 и т. д.

91*11=1001

91*22=2002

91*33=3003 и т. д.

143*7=1001

143*14=2002

143*21=3003 и т. д.

В нашей книжечке указаны только простейшие, наиболее удобоприменимые способы устного выполнения действий умножения, деления и возвышения в квадрат. Практикуясь в сознательном пользовании ими, вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще и других приемов, облегчающих вычислительную работу.

  • Умножение на однозначное число
  •   § 1.
  •   § 2.
  •   § 3
  • Умножение на двузначное число
  •   § 4
  •   § 5.
  •   § 6.
  • Умножение на 4 и на 8
  •   § 7.
  •   § 8.
  • Деление на 4 и на 8
  •   § 9.
  •   § 10.
  • Умножение на 5 и на 25
  •   § 11.
  •   § 12.
  • Умножение на 11/2, на 1 1/4, на 21/2, на 3/4
  •   § 13.
  •   § 14.
  •   § 15
  •   § 16.
  • Умножение на 15, на 125, на 75
  •   § 17
  •   § 18.
  •   § 19.
  • Умножение на 9 и на 11
  •   § 20.
  •   § 21
  • Деление на 5, на 11/2,на 15
  •   § 22
  •   § 23
  •   § 24.
  • Возвышение в квадрат
  •   $ 25.
  •   § 26.
  •   § 27.
  •   § 28.
  • Вычисления по формуле
  •   § 29.
  •   § 30.
  • Полезно запомнить:
  • Источник: https://coollib.com/b/125272/read

    10 трюков, упрощающих математические операции

    Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся  на  75. Техника быстрого счета. Быстрый устный счет

    Недавно, прочитав книгу «Магия чисел», я почерпнул огромное количество информации. В книге рассказывается о десятках трюков, которые упрощают привычные математические операции. Оказалось, что умножение и деление в столбик — это прошлый век, и непонятно, почему этому до сих пор учат в школах.

    Я выбрал 10 самых интересных и полезных трюков и хочу поделиться ими с вами.

    Умножение «3 на 1» в уме

    Умножение трёхзначных чисел на однозначные — это очень простая операция. Всё, что нужно сделать, — это разбить большую задачу на несколько маленьких.

    Пример: 320 × 7

    1. Разбиваем число 320 на два более простых числа: 300 и 20.
    2. Умножаем 300 на 7 и 20 на 7 по отдельности (2 100 и 140).
    3. Складываем получившиеся числа (2 240).

    Возведение в квадрат двузначных чисел

    Возводить в квадрат двузначные числа не намного сложнее. Нужно разбить число на два и получить приближенный ответ.

    Пример: 412

    1. Вычтем 1 из 41, чтобы получить 40, и добавим 1 к 41, чтобы получить 42.
    2. Умножаем два получившихся числа, воспользовавшись предыдущим советом (40 × 42 = 1 680).
    3. Прибавляем квадрат числа, на величину которого мы уменьшали и увеличивали 41 (1 680 + 12 = 1 681).

    Ключевое правило здесь — превратить искомое число в пару других чисел, которые перемножить гораздо проще. К примеру, для числа 41 это числа 42 и 40, для числа 77 — 84 и 70. То есть мы вычитаем и прибавляем одно и то же число.

    Мгновенное возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5

    С квадратами чисел, оканчивающихся на 5, вообще не нужно напрягаться. Всё, что нужно сделать, — это умножить первую цифру на число, которое на единицу больше, и добавить в конец числа 25.

    Пример: 752

    1. Умножаем 7 на 8 и получаем 56.
    2. Добавляем к числу 25 и получаем 5 625.

    Деление на однозначное число

    Деление в уме — это достаточно полезный навык. Задумайтесь о том, как часто мы делим числа каждый день. К примеру, счёт в ресторане.

    Пример: 675 : 8

    1. Найдём приближенные ответы, умножив 8 на удобные числа, которые дают крайние результаты (8 × 80 = 640, 8 × 90 = 720). Наш ответ — 80 с хвостиком.
    2. Вычтем 640 из 675. Получив число 35, нужно разделить его на 8 и получить 4 с остатком 3.
    3. Наш финальный ответ — 84,3.

    Мы получаем не максимально точный ответ (правильный ответ — 84,375), но согласитесь, что даже такого ответа будет более чем достаточно.

    Простое получение 15%

    Чтобы быстро узнать 15% от любого числа, нужно сначала посчитать 10% от него (перенеся запятую на один знак влево), затем поделить получившееся число на 2 и прибавить его к 10%.

    Пример: 15% от 650

    1. Находим 10% — 65.
    2. Находим половину от 65 — это 32,5.
    3. Прибавляем 32,5 к 65 и получаем 97,5.

    Банальный трюк

    Пожалуй, все мы натыкались на такой трюк:

    Задумайте любое число. Умножьте его на 2. Прибавьте 12. Разделите сумму на 2. Вычтите из неё исходное число.

    Вы получили 6, верно? Что бы вы ни загадали, вы всё равно получите 6. И вот почему:

    1. 2x (удвоить число).
    2. 2x + 12 (прибавить 12).
    3. (2x + 12) : 2 = x + 6 (разделить на 2).
    4. x + 6 − x (вычесть исходное число).

    Этот трюк построен на элементарных правилах алгебры. Поэтому, если вы когда-нибудь услышите, что кто-то его загадывает, натяните свою самую надменную усмешку, сделайте презрительный взгляд и расскажите всем разгадку. 🙂

    Магия числа 1 089

    Этот трюк существует не одно столетие.

    Запишите любое трёхзначное число, цифры которого идут в порядке уменьшения (к примеру, 765 или 974). Теперь запишите его в обратном порядке и вычтите его из исходного числа. К полученному ответу добавьте его же, только в обратном порядке.

    Какое бы число вы ни выбрали, в результате получите 1 089.

    Быстрые кубические корни

    Для того чтобы быстро считать кубический корень из любого числа, понадобится запомнить кубы чисел от 1 до 10:

    12345678910
    1827641252163435127291 000

    »
    Как только вы запомните эти значения, находить кубический корень из любого числа будет элементарно просто.

    Пример: кубический корень из 19 683

    1. Берём величину тысяч (19) и смотрим, между какими числами она находится (8 и 27). Соответственно, первой цифрой в ответе будет 2, а ответ лежит в диапазоне 20+.
    2. Каждая цифра от 0 до 9 появляется в таблице по одному разу в виде последней цифры куба.
    3. Так как последняя цифра в задаче — 3 (19 683), это соответствует 343 = 73. Следовательно, последняя цифра ответа — 7.
    4. Ответ — 27.

    Примечание: трюк работает только тогда, когда исходное число является кубом целого числа.

    Правило 70

    Чтобы найти число лет, необходимых для удвоения ваших денег, нужно разделить число 70 на годовую процентную ставку.

    Пример: число лет, необходимое для удвоения денег с годовой процентной ставкой 20%.

    70 : 20 = 3,5 года

    Правило 110

    Чтобы найти число лет, необходимых для утроения денег, нужно разделить число 110 на годовую процентную ставку.

    Пример: число лет, необходимое для утроения денег с годовой процентной ставкой 12%.

    110 : 12  = 9 лет

    Математика — волшебная наука. Я даже немного смущён тем, что такие простые трюки смогли меня удивить, и даже не представляю, сколько ещё математических фокусов можно узнать.

    По материалам книги «Магия чисел»

    Электронная книга Купить на amazon
    Электронная книга на английском языке

    Источник: https://lifehacker.ru/matematicheskie-tryuki/

    Приемы устного счета репетитора по математике

    Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся  на  75. Техника быстрого счета. Быстрый устный счет

    Умеете ли Вы быстро считать? Этот вопрос можно задать не только школьникам и родителям, но и начинающим репетиторам по математике 5 — 9 классов.

    Как-то, прочитывая старую литературу по занимательной математике, я наткнулся на сообщение о том, что до революции, когда не было калькуляторов и компьютеров школьники, по крайней мере, в школе Рачинского, умели возводить в квадрат числа до 100 в уме. Не столбиком, а именно в уме.

    Как они это делали? Казалось бы, процесс достаточно трудоемкий, однако при ближайшем рассмотрении выясняется, что освоить возведение в квадрат может любой, даже не слишком продвинутый в математике ученик. Ну, например, сколько будет 96 в квадрате? Конечно, можно взять калькулятор, набрать нужные кнопки и получить ответ.

    Можно взять листок бумаги и подсчитать это столбиком. А можно и в уме. Вот о методах быстрого счета, с которым репетитор по математике ежедневно сталкивается в практике своей работе, я и расскажу в этой статье.

    Какие вычисления производит репетитор по математике в уме?

    За свою многолетнюю историю репетиторства я никогда и ни на одно занятие не брал и не беру с собой калькулятор, предпочитая пользоваться, главным образом, устным счетом.

    Для начала возьмем пример попроще. Например, сколько будет 11232-9889 ? Конечно, можно подсчитать это столбиком, каждый раз занимая и ставя точки по этому поводу над каждой цифрой, но ведь можно сосчитать и в уме.

    Представим себе числовую ось. Репетитор по математике может сделать для нее схематический рисунок:
    Сколько не хватает числу 9889 до 10000? – 111. А на сколько 11232 больше, чем 10000? На 1232.

    А теперь складываем 1232 и 111 и получаем результат: 1232+111=1343.

    А теперь разберем пример посложнее – умножение. Сколько будет 64×15? Техника быстрого счета позволяет репетитору по математике дать молниеносный ответ. Это будет 960. Стоит только увидеть число 15 в каком-нибудь примере, как сразу возникает возможность быстрого счета. Как умножить число на полтора, т.е.

    на 1,5? Для этого надо взять само это число, прибавить к нему половинку от него самого и получить результат. Если в примере фигурирует на 1,5, а 15, или 150, то надо приписать еще справа определенное количество нулей. Ну, например, 64 плюс половинка от этого числа, то есть 32 и ноль приписываем.

    То есть 64+32=96 96×10=960.

    Аналогичный пример, но в этом случае можно подсчитать разными способами. 84×25. Можно рассматривать 25 как 2,5×10. Иными словами взять 84 два раза и прибавить к полученному результату 42. 84+84+42=210. И приписываем ноль.

    Итого получаем 2100. А можно и по-другому. 84×0,25×100. То есть разбиваем 25 на 0,25 и 100. Зачем нам это надо? Дело в том, что 0,25 это ¼ (одна четвертая). Иными словами 84 делим на 4, получается 21, и приписываем два ноля.

    То есть получается те же 2100.

    Подобные способы использования обыкновенных дробей достаточно многочисленны, и при должном желании репетитор по математике, хорошо знающий свой предмет, может придумать еще несколько таких. Вот, пример, из реального занятия. Ученику 5-го класса следовало подсчитать, сколько будет 375 умножить на 48.

    Правильно то, репетитор по математике запрещает пользоваться калькулятором. Но произвести вычисления столбиком в 5 классе — это значит потратить уйму времени. Тем не менее, такое произведение можно найди в уме. Что такое 375? – Это 125×3. Число 125 – это одна восьмая, умноженная на тысячу.

    Следовательно, превращаем 375 в три восьмых и умножаем на 1000, так как одна восьмая – это 125 тысячных – 0,125).

    Далее 48 делим на восемь и умножаем на 3. Итого получается 48:8×3=18. И приписываем три ноля. Получается 18000. Казалось бы, подобные вычисление не менее сложны, чем подсчет столбиком. Однако при постоянной практике быстрого счета «сокращенные» вычисления репетитор по математике может довести до автоматизма.

    Работа с формулами сокращенного умножения

    Формулы сокращенного умножения, изучающиеся в 7-м классе, позволяют репетитору облегчить устный счет. В этой статье я не буду подробно рассматривать все приемы, думаю, что им легко обучиться самостоятельно. Например, ученик, знакомый с формулой разности квадратов без труда умножит в уме 43 на 37.

    Я же остановлюсь на правиле, позволяющем возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на пятерку. Например, 25 в квадрате, 35 в квадрате, 45 в квадрате, 95 в квадрате. Правило такое.

    Для этого, количество десятков возводимого в квадрат числа (например, 95) умножить на число, которое на единицу больше (то есть на 10 в случае 95) и приписать 25. Получается 9025.

    Почему так получается комментировать не буду, думаю, ученик, знакомый с формулами сокращенного умножения без труда поймет это. Более того, в некоторых школах, учителя знакомят учеников с таким методом. Однако на занятиях у репетитора по математике этому приему внимание практически не уделяется.

    Едва ли где говорится, что это знание в некоторых случаях помогает возводить в квадрат числа. Берем таблицу квадратов, имеющуюся в учебниках 7-го, 8-го, 9-го классов. Среди чисел, перечисленных в ней, есть т.н. «опорные» числа. Это, во-первых, 10, 20, 30, 40, ….90 и во-вторых, 15, 25, 35… 95.

    Это те числа, возвести которые в квадрат очень просто.

    Теперь берем число 96 и возводим его в квадрат. Для этого репетитор по математике возводит в квадрат 95 и прибавляет 95+96. Число 95 в квадрате дает 9025. Прибавляем 200 и отнимаем (5+4 – числа, дополняющие 95 и 96 до ста). Пишем результат – 9216.

    Аналогичным способом при соответствующей тренировке можно возводить в квадрат любое число из таблицы квадратов, вплоть до того, чтобы показывать фокусы быстрого счета перед одноклассниками. Для тех, кто всё еще побаивается столь больших чисел, репетитор по математике упрощает объяснение принципа.

    Как это делается? Берем 4 в квадрате. Это будет 16. Берем 5 в квадрате. Это будет 25. Берем 6 в квадрате. Это будет 36. Зная 4 в квадрате, результат следующего числа в квадрате получается прибавлением к предыдущему суммы возводимых в квадрат чисел. Например, 5 в квадрате = 4 в квадрате + 5+4 (т.е.

    16+9). Или 7 в квадрате = 36 (6×6) + (6+7) = 49.

    Это далеко не все способы быстрого счета, которые встречаются в практике репетитора.

    Аркуров А.А. Репетитор по математике, Москва

    Источник: https://ankolpakov.ru/metodika-bystrogo-scheta-repetitora-po-matematike/

    Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора

    Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся  на  75. Техника быстрого счета. Быстрый устный счет

    21 сентября 2013

    Сегодня мы научимся быстро без калькулятора возводить большие выражения в квадрат. Под большими я подразумеваю числа в пределах от десяти до ста.

    Большие выражения крайне редко встречаются в настоящих задачах, а значения меньше десяти вы и так умеете считать, потому что это обычная таблица умножения.

    Материал сегодняшнего урока будет полезен достаточно опытным ученикам, потому что начинающие ученики просто не оценят скорость и эффективность этого приема.

    Для начала давайте разберемся вообще, о чем идет речь. Предлагаю для примера сделать возведение произвольного числового выражения, как мы обычно это делаем. Скажем, 34. Возводим его, умножив само на себя столбиком:

    \[{{34}{2}}=\times \frac{34}{\frac{34}{+\frac{136}{\frac{102}{1156}}}}\]

    1156 — это и есть квадрат 34.

    Проблему данного способа можно описать двумя пунктами:

    1) он требует письменного оформления;

    2) в процессе вычисления очень легко допустить ошибку.

    Сегодня мы научимся быстрому умножению без калькулятора, устно и практически без ошибок.

    Итак, приступим. Для работы нам потребуется формула квадрата суммы и разности. Давайте запишем их:

    \[{{(a+b)}{2}}={{a}{2}}+2ab+{{b}{2}}\]

    \[{{(a-b)}{2}}={{a}{2}}-2ab+{{b}{2}}\]

    Что нам это дает? Дело в том, что любое значение в пределах от 10 до 100 представимо в виде числа $a$, которое делится на 10, и числа $b$, которое является остатком от деления на 10.

    Например, 28 можно представить в следующем виде:

    \[\begin{align}& {{28}{2}} \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end{align}\]

    Аналогично представляем оставшиеся примеры:

    \[\begin{align}& {{51}{2}} \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{42}{2}} \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{42}{2}} \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{77}{2}} \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{21}{2}} \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{26}{2}} \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{39}{2}} \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{81}{2}} \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end{align}\]

    Что дает нам такое представление? Дело в том, что при сумме или разности, мы можем применить вышеописанные выкладки. Разумеется, чтобы сократить вычисления, для каждого из элементов следует выбрать выражение с наименьшим вторым слагаемым. Например, из вариантов $20+8$ и $30-2$ следует выбрать вариант $30-2$.

    Аналогично выбираем варианты и для остальных примеров:

    \[\begin{align}& {{28}{2}} \\& 30-2 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{51}{2}} \\& 50+1 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{42}{2}} \\& 40+2 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{77}{2}} \\& 80-3 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{21}{2}} \\& 20+1 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{26}{2}} \\& 30-4 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{39}{2}} \\& 40-1 \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{81}{2}} \\& 80+1 \\\end{align}\]

    Почему следует стремиться к уменьшению второго слагаемого при быстром умножении? Все дело в исходных выкладках квадрата суммы и разности.

    Дело в том, что слагаемое $2ab$ с плюсом или с минусом труднее всего считается при решении настоящих задач.

    И если множитель $a$, кратный 10, всегда перемножается легко, то вот с множителем $b$, который является числом в пределах от одного до десяти, у многих учеников регулярно возникают затруднения.

    Можете самостоятельно попробовать рассчитать оба разложения, и вы убедитесь, что разложение с наименьшим вторым слагаемым считается проще. А мы перейдем к примерам, которые посчитаем без калькулятора:

    \[{{28}{2}}={{(30-2)}{2}}=200-120+4=784\]

    \[{{51}{2}}={{(50+1)}{2}}=2500+100+1=2601\]

    \[{{42}{2}}={{(40+2)}{2}}=1600+160+4=1764\]

    \[{{77}{2}}={{(80-3)}{2}}=6400-480+9=5929\]

    \[{{21}{2}}={{(20+1)}{2}}=400+40+1=441\]

    \[{{26}{2}}={{(30-4)}{2}}=900-240+16=676\]

    \[{{39}{2}}={{(40-1)}{2}}=1600-80+1=1521\]

    \[{{81}{2}}={{(80+1)}{2}}=6400+160+1=6561\]

    Вот так за три минуты мы сделали умножение восьми примеров. Это меньше 25 секунд на каждое выражение. В реальности после небольшой тренировки вы будете считать еще быстрее. На подсчет любого двухзначного выражения у вас будет уходить не более пяти-шести секунд.

    Но и это еще не все. Для тех, кому показанный прием кажется недостаточно быстрым и недостаточно крутым, предлагаю еще более быстрый способ умножения, который однако работает не для всех заданий, а лишь для тех, которые на единицу отличаются от кратных 10. В нашем уроке таких значений четыре: 51, 21, 81 и 39.

    Казалось бы, куда уж быстрее, мы и так считаем их буквально в пару строчек. Но, на самом деле, ускориться можно, и делается это следующим образом. Записываем значение, кратное десяти, которое наиболее близкое нужному. Например, возьмем 51. Поэтому для начала возведем пятьдесят:

    \[{{50}{2}}=2500\]

    Значения, кратные десяти, поддаются возведению в квадрат намного проще. А теперь к исходному выражению просто добавляем пятьдесят и 51. Ответ получится тот же самый:

    \[{{51}{2}}=2500+50+51=2601\]

    И так со всеми числами, отличающимися на единицу.

    Если значение, которое мы ищем, больше, чем то, которое мы считаем, то к полученному квадрату мы прибавляем числа. Если же искомое число меньше, как в случае с 39, то при выполнении действия, из квадрата нужно вычесть значение. Давайте потренируемся без использования калькулятора:

    \[{{21}{2}}=400+20+21=441\]

    \[{{39}{2}}=1600-40-39=1521\]

    \[{{81}{2}}=6400+80+81=6561\]

    Как видите, во всех случаях ответы получаются одинаковыми. Более того, данный прием применим к любым смежным значениям. Например:

    \[\begin{align}& {{26}{2}}=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end{align}\]

    При этом нам совсем не нужно вспоминать выкладки квадратов суммы и разности и использовать калькулятор. Скорость работы выше всяких похвал. Поэтому запоминайте, тренируйтесь и используйте на практике.

    Ключевые моменты

    С помощью этого приема вы сможете легко делать умножение любых натуральных чисел в пределах от 10 до 100. Причем все расчеты выполняются устно, без калькулятора и даже без бумаги!

    Для начала запомните квадраты значений, кратных 10:

    \[\begin{align}& {{10}{2}}=100,{{20}{2}}=400,{{30}{2}}=900,…, \\& {{80}{2}}=6400,{{90}{2}}=8100. \\\end{align}\]

    Далее — выкладки квадрата суммы или разности, в зависимости от того, к какому опорному значению ближе наше искомое выражение. Например:

    \[\begin{align}& {{34}{2}}={{(30+4)}{2}}={{30}{2}}+2\cdot 30\cdot 4+{{4}{2}}= \\& =900+240+16=1156; \\\end{align}\]

    \[\begin{align}& {{27}{2}}={{(30-3)}{2}}={{30}{2}}-2\cdot 30\cdot 3+{{3}{2}}= \\& =900-180+9=729. \\\end{align}\]

    Как считать еще быстрее

    Но это еще не все! С помощью данных выражений моментально можно сделать возведение в квадрат чисел, «смежных» с опорными. Например, мы знаем 152 (опорное значение), а надо найти 142 (смежное число, которое на единицу меньше опорного). Давайте запишем:

    \[\begin{align}& {{14}{2}}={{15}{2}}-14-15= \\& =225-29=196. \\\end{align}\]

    Обратите внимание: никакой мистики! Квадраты чисел, отличающиеся на 1, действительно получаются из умножения самих на себя опорных чисел, если вычесть или добавить два значения:

    \[\begin{align}& {{31}{2}}={{30}{2}}+30+31= \\& =900+61=961. \\\end{align}\]

    Почему так происходит? Давайте запишем формулу квадрата суммы (и разности). Пусть $n$ — наше опорное значение. Тогда они считаются так:

    \[\begin{align}& {{(n-1)}{2}}=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1)= \\& =={{n}{2}}-n-(n-1) \\\end{align}\]

    — это и есть формула.

    \[\begin{align}& {{(n+1)}{2}}=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1)= \\& ={{n}{2}}+n+(n+1) \\\end{align}\]

    — аналогичная формула для чисел, больших на 1.

    Надеюсь, данный прием сэкономит вам время на всех ответственных контрольных и экзаменах по математике. А у меня на этом все. До встречи!

    Источник: https://www.berdov.com/docs/numbers/bistroe-vozvedenie-chisel-kvadrat/

    Быстрое возведение чисел от 1 до 100 в квадрат

    Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся  на  75. Техника быстрого счета. Быстрый устный счет

    Вдохновленный этой статьей, решил поделиться с вами способом быстрого возведения в квадрат. Возведение в квадрат более редкая операция, нежели умножение чисел, но под нее существуют довольно интересные правила.
    *квадраты до сотни Для того, чтобы бездумно не возводить в квадрат по формуле все числа, нужно максимально упростить себе задачу следующими правилами.

    Правило 1 (отсекает 10 чисел)

    Для чисел, оканчивающихся на 0. Если число заканчивается на 0, умножить его не сложнее, чем однозначное число. Стоит лишь дописать пару нулей. 70 * 70 = 4900. В таблице отмечены красным.

    Правило 2 (отсекает 10 чисел)

    Для чисел, оканчивающихся на 5. Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно умножить первую цифру (x) на (x+1) и дописать к результату “25”.75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625. В таблице отмечены зеленым.

    Правило 3 (отсекает 8 чисел)

    Для чисел от 40 до 50.
    XX * XX = 1500 + 100 * вторую цифру + (10 — вторая цифра)2 Достаточно трудно, верно? Давайте разберем пример:43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 — 3)2 = 1500 + 300 + 49 = 1849. В таблице отмечены светло-оранжевым.

    Правило 4 (отсекает 8 чисел)

    Для чисел от 50 до 60.
    XX * XX = 2500 + 100 * вторую цифру + (вторая цифра)2 Тоже достаточно трудно для восприятия. Давайте разберем пример:53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 32 = 2500 + 300 + 9 = 2809. В таблице отмечены темно-оранжевым.

    Правило 5 (отсекает 8 чисел)

    Для чисел от 90 до 100.
    XX * XX = 8000+ 200 * вторую цифру + (10 — вторая цифра)2 Похоже на правило 3, но с другими коэффициентами. Давайте разберем пример:93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 — 3)2 = 8000 + 600 + 49 = 8649. В таблице отмечены темно-темно-оранжевым.

    Правило №6 (отсекает 32 числа)

    Необходимо запомнить квадраты чисел до 40. Звучит дико и трудно, но на самом деле до 20 большинство людей знают квадраты. 25, 30, 35 и 40 поддаются формулам. И остается лишь 16 пар чисел.

    Их уже можно запомнить при помощи мнемоники (о которой я также хочу рассказать позднее) или любыми другими способами. Как таблицу умножения 🙂 В таблице отмечены синим. Вы можете запомнить все правила, а можете запомнить выборочно, в любом случае все числа от 1 до 100 подчиняются двум формулам.

    Правила же помогут, не используя эти формулы, быстрее посчитать больше 70% вариантов. Вот эти две формулы:

    Формулы (осталось 24 числа)

    Для чисел от 25 до 50XX * XX = 100(XX — 25) + (50 — XX)2 Например:37 * 37 = 100(37 — 25) + (50 — 37)2 = 1200 + 169 = 1369 Для чисел от 50 до 100XX * XX = 200(XX — 50) + (100 — XX)2 Например:67 * 67 = 200(67 — 50) + (100 — 67)2 = 3400 + 1089 = 4489

    Конечно не стоит забывать про обычную формулу разложения квадрата суммы (частный случай бинома Ньютона):

    (a+b)2 = a2 + 2ab + b2.562 = 502 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

    UPDATE

    Произведения чисел, близких к 100, и, в частности, их квадраты, также можно вычислять по принципу «недостатков до 100»: Словами: из первого числа вычитаем «недостаток» второго до сотни и приписываем двузначное произведение «недостатков». Для квадратов, соответственно, еще проще.92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
    (от sielover) Возведение в квадрат, возможно, не самая полезная в хозяйстве вещь. Не сразу вспомнишь случай, когда может понадобиться квадрат числа. Но умение быстро оперировать числами, применять подходящие правила под каждое из чисел отлично развивает память и «вычислительные способности» вашего мозга. Кстати, думаю, все читатели хабры знают, что 642 = 4096, а 322 = 1024. Многие квадраты чисел запоминаются на ассоциативном уровне. Например, я легко запомнил 882 = 7744, из-за одинаковых чисел. У каждого наверняка найдутся свои особенности. Две уникальные формулы я впервые нашел в книге «13 steps to mentalism», которая мало связана с математикой. Дело в том, что раньше (возможно, и сейчас) уникальные вычислительные способности были одним из номеров в сценической магии: фокусник рассказывал байку о том, как он получил сверхспособности и в доказательство этого моментально возводит числа до сотни в квадрат. В книге так же указаны способы возведения в куб, способы вычитания корней и кубических корней. Если тема быстрого счета интересна — буду писать еще.

    Замечания об ошибках и правки прошу писать в лс, заранее спасибо.

    • Счет в уме
    • возведение в квадрат
    • тренировка памяти

    Источник: https://habr.com/post/178831/

    Хранилище полезных ресурсов

    Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся  на  75. Техника быстрого счета. Быстрый устный счет

    Как быстро считать? Хитрые приемчики счета в уме

    Как научиться быстро считать в уме? Не так уж сложно, как многие думают. Для этого вовсе не надо быть математическим гением. Достаточно выучить несложные правила и методы счета в уме, чтобы значительно увеличить скорость вычислений.

    Умножение чисел от 10 до 20

    К одному из чисел прибавляем количество единиц другого, сумму умножаем на 10 и прибавляем произведение единиц чисел.

    Например:

    15 х 17 = (15 + 7) х 10 + 5 х 7 = 220 + 35 = 255

    Примечание. Не веришь? Возьми калькулятор и убедись. У меня всё без обмана. Но в случае, например, 98 х 12 это правило уже не работает, т.к. 98 больше, чем 20.

    Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5

    Число, оканчивающееся на 5, возводим в квадрат так: 100 х (количество десятков числа) х (количество десятков + 1) + 25.

    Например:

    Возведем 35 в квадрат:

    100 х 3 х (3+1) + 25 = 300 х 4 + 25 = 1225

    Умножение на 5, 50, 25 и 125

    Умножая число Х на эти числа, удобно пользоваться такими выражениями: X x 5 = X x 10 : 2 X x 50 = X x 100:2 X x 25 = X x 100:4

    X x 125 = X х 1000:8

    Например:

    22 x 5 = 22 x 10 : 2 = 220 : 2 = 110 34 x 50 = 34 x 100 : 2 = 3400 : 2 = 1700 46 x 25 = 46 x 100 : 4 = 4600 : 4 = 1150

    64 x 125 = 64 x 1000 : 8 = 64000 : 8 = 8000

    Деление на 5, 50, 25

    При делении числа Х на эти числа удобно иметь в виду, что: X : 5 = X x 2 :10 X : 50= X x 2 : 100

    X : 25 = X x 4 : 100

    Например:

    75 : 5 = 75 x 2 : 10 = 150 : 10 = 15 4350 : 50 = 4350 x 2 : 100 = 8700 : 100 = 87

    8600 : 25 = 8600 x 4 : 100 = 34400 : 100 = 344

    Быстрое сложение и вычитание натуральных чисел, хитрость 1

    Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

    Например:

    654 + 348 = (654 + 348 + 2) — 2 = 1004 — 2 = 1002

    Быстрое сложение и вычитание натуральных чисел, хитрость 2

    Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

    Например:

    334 + 768 = (334 + 6) + (768 — 6) = 340 + 762 = 1102

    Быстрое сложение и вычитание натуральных чисел, хитрость 3

    Если к вычитаемому и уменьшаемому прибавить (или отнять) одно и то же количество единиц, то разность не изменится.

    Например:

    345 — 229 = (345 + 5) — (229 + 5) = 350 — 234 = 116

    Быстрое умножение натуральных чисел

    Чтобы получить единицы произведения, перемножим единицы множителей. Для получения десятков произведения умножают десятки одного множителя на единицы другого и наоборот и результаты складывают. Для получения сотен перемножаем десятки множителей.

    Например:

    Умножим 43 х 57:

    а) 3 х 7 = 21 (пишем в результате 1 справа, а в уме держим 2)

    б) 4 х 7 + 3 х 5 + 2 (из ума)(пишем 5 левее от 1 из пункта «а», в уме держим 4)

    в) 4 х 5 + 4 (из ума) = 24 (пишем 24 слева от 5)

    В итоге: 43 х 57 = 2451.

    Для не двузначных чисел действуем аналогично.

    Примечание. Вообще, в начальной школе данная метода называется просто-напросто «умножение столбиком», но начальная школа — это было так давно, правда?..

    Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10

    Число десятков любого из множителей умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел, после чего к первому результату приписать второй справа.

    Например:

    Умножим 303 на 307: а) 30 х (30 +1) = 900 + 30 = 930 б) 3 х 7 = 21 Записываем первый результат, а справа — второй:

    93021

    Умножение числа Х на двузначное число вида YY

    Умножаем Х на Y (на одну цифру), а потом на 11.

    Например:

    12 х 44 = (12 х 4) х 11 = 48 х 11 = 480 + 48 = 528

    Умножение на 11

    Чтобы умножить число Х на 11, представим 11 как сумму 10 + 1.

    Например:

    15 х 11 = 15 х (10 + 1) = 150 + 15 = 165

    123 х 11 = 123 х (10 + 1) = 1230 + 123 = 1353

    Умножение на 11 двузначного числа с суммой цифр меньше 10

    Если сумма цифр умножаемого на 11 двузначного числа Х меньше 10, то «вставляем» сумму цифр между самими цифрами Х и, таким образом, получаем произведение.

    Например:

    36 х 11 = 3 (между цифрами вставляем сумму 3+6=9) 6 = 396

    17 х 11 = 1 (между цифрами вставляем сумму 1+7=8) 7 = 187

    Примечание. Этот способ годится только для двузначных чисел!

    Умножение на 111 двузначного числа с суммой цифр меньше 10

    Если сумма цифр умножаемого на 111 двузначного числа Х меньше 10, то дважды «вставляем» сумму цифр между цифрами Х и, таким образом, получаем произведение.

    Например:

    52 х 111 = 5 (между цифрами дважды вставляем сумму 5+2=7) 2 = 5772

    Умножение на 11 трехзначного числа

    Чтобы умножить трехзначное число Х на 11:

    1. Произведение будет четырехзначным. Цифра тысяч в произведении — это цифра сотен числа.

    2. Цифра сотен произведения — это цифра сотен Х плюс цифра десятков Х.

    3. Цифра десятков произведения — это цифра десятков Х плюс цифра единиц Х.

    4. Цифра единиц произведения — это цифра единиц числа Х.

    Например:

    245 х 11=?

    2 — цифра тысяч произведения,

    2 + 4 = 6 — цифра сотен произведения,

    4 + 5 = 9 — цифра десятков произведения,

    5 — цифра единиц произведения.

    245 х 11 = 2695

    В случае, если сумма двух цифр больше 9, то от суммы отнимается 10 и получившаяся разность записывается вместо суммы, а к старшему (соседнему слева) разряду прибавляется 1.

    Например:

    489 х 11 = ?

    4 — цифра тысяч произведения,

    4+8 = 12. 12-10 = 2. 2 — цифра сотен произведения. К разряду тысяч прибавляем 1: 4+1 = 5.

    Источник: http://linkhelp.ucoz.ru/news/prijomy_bystrogo_schjota/2013-07-31-267

    Поделиться:
    Нет комментариев

      Добавить комментарий

      Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.