December 10 2016 04:58:44
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
уравнение Шредингера для стационарных состояний
Физика колебаний и волн. Квантовая физика
  1. Уравнение Шредингера

В 1926 году швейцарский физик Эрвин Шредингер записал в явном виде уравнение для волн волновой механики.

И сегодня до конца не ясно, как он нашел это уравнение.

Может быть, он рассуждал следующим образом.

Согласно гипотезе де-Бройля, каждой движущейся микрочастице должна быть сопоставлена волна.

Пусть свободной микрочастице, летящей вдоль оси x, соответствует плоская волна

img01                        (13.5)

Свяжем параметры волны с энергией и импульсом микрочастицы

img02              img03

Теперь уравнение (13.5) можно записать иначе:

img04                        (13.6)

Продифференцируем это выражение один раз по времени и дважды – по координате:

img05              (13.7)

img06         (13.8)

В случае свободного движения нерелятивистской частицы, ее энергия и импульс связаны простым соотношением:

img07

Теперь, принимая во внимание это соотношение, легко связать уравнения (13.7) и (13.8)

img08                   (13.9)

Это и есть волновое уравнение Шредингера для одномерного движения свободной частицы.

В случае движения микрочастицы в силовом поле, потенциальная энергия U, полная энергия E и импульс частицы связаны таким соотношением

img09

Объединяя в этом выражении уравнения (13.7) и (13.8), получим:

img10

Или еще так

img11                   (13.10)

Это уравнение Шредингера для одномерного движения микрочастицы в силовом поле.

Для частицы, движущейся в произвольном направлении, запишем волновое уравнение в таком виде:

img12                   (13.11)

Это уравнение получило название нестационарное волновое уравнение Шредингера.

Здесь: img13 оператор Лапласа.

Таким образом

img14

При движении микрочастицы в стационарном (неизменном во времени) силовом поле, решение уравнения Шредингера может быть представлено произведением двух множителей, один из которых является функцией только координат, а другой – только времени

img15              (13.12)

Используем это решение в дифференциальном уравнении (13.10)

img16         (13.13)

Сократив на общий множитель img17, получим уравнение Шредингера для стационарных состояний:

img18.             (13.14)

Это же уравнение можно представить еще и в таком виде:

img19.

Итог лекции 13

Уравнения Шредингера

1) Для одномерного движения свободной частицы (U = 0)

img20

2) Для одномерного движения частицы в силовом поле

img21

3) Нестационарное волновое уравнение

img22

4) Стационарное волновое уравнение

img23

Мы познакомились с различными уравнениями движения микрочастиц – с волновыми уравнениями Шредингера. Но до сих пор остается не ясным: каково содержание самой Ψ – функции?

Рассматривая, например, акустическую волну, мы составляли волновое уравнение для давления или плотности среды. В волновом уравнении электромагнитной волны речь шла о напряженности электрического или магнитного полей…

Что же означает в уравнении Шредингера пси-функция (Ψ)? Каков ее физический смысл?

Этот вопрос мы подробно обсудим на следующей лекции.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.04 секунд 4,204,150 уникальных посетителей