28. Определить связь между амплитудами тока и напряжения при свободных колкбаниях в LC контуре.

Решение

Свободные колебания в контуре без потерь - гармонические с угловой частотой

.

Напряжение на элементах контура составит U(t)=U_mcos(w₀t+j), ток в контуре будет I(t) = CdU/dt=-w₀C U_msin(w₀t+j)=-(U_m/r)sin(w₀t+j). Амплитуда тока составит I_m=U_m/r, где

- волновое сопротивление контура.

29. Из-за наличия активного сопротивления проводов в колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью С = 1 мкF и катушки с индуктивностью L = 1 мкГн, амплитуда тока за время t = 1 мс уменьшилась в a = 2 раза. Определить сопротивление проводов и добротность колебательного контура.

Решение

Отношение амплитуд через время t составит a = exp(bt). Отсюда находим b = (lna)/t = R/2L, R=(2L/t)lna = (2 10^-6/1 10^-3)ln2=1.4 10^-3 Ом, Q=r/R=71.4

Вихревое электрическое поле. Ток смещения.

30. Бесконечный прямой соленоид радиуса R имеет n витков на единицу длины. По обмотке соленоида пропускают линейно нарастающий во времени ток I=at. Определить напряженность вихревого электрического поля в зависимости от расстояния r от оси соленоида и построить график этой зависимости.

Решение

Вследствие осевой симмтрии электрического поля его циркуляция по окружности радиуса r будет 2prE(r)= - dF/dt. Магнитный поток через эту окружность будет F=pr² B=m₀npr² I(t)= m₀npr²at. Отсюда следует E(r)= m₀npar/2.

31. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух одинаковых параллельных металлических дисков, расстояние между внутренними поверхностями которых равно d. Между пластинами конденсатора поддерживается переменное напряжение U=U₀sinwt. Пренебрегая краевыми эффектами, определить напряженность магнитного поля между пластинами.

Решение

Индукция электрического поля в конденсаторе D=e₀E=e₀ U/d=(e₀U₀/d)sinwt. Вследствие осевой симметрии циркуляция магнитного поля вдоль окружности радиуса r составит 2prH(r). В соответствии с гипотезой Максвелла ток смещения через круг, ограниченный этой окружностью, будет pr² dD/dt=pr²(e₀U₀/d) wcoswt=2prH(r). Отсюда следует, что

              H(r)= (rwe₀U₀/2d) coswt