December 03 2016 02:23:15
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
стационарные состояния системы
Физические основы информации

Если система замкнутая и оператор полной энергии не зависит от времени, то для такой системы существуют стационарные состояния с точно определенной энергией, в которых все измеряемые величины не меняются во времени. Стационарные состояния описываются собственными функциями оператора полной энергии

img063                                                                                                                  (II.3.14а)

где

img064                                                                                                             (II.3.14б)

и Е – собственное значение оператора полной энергии или энергия стационарного состояния. Уравнение (II.3.14a) получается путем подстановки функции (II.3.14б) в уравнение (II.3.11) и называется стационарным уравнением Шредингера.

Пример. Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме прямоугольной формы.

Определим стационарные состояния частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме прямоугольной формы, если масса частицы m и ширина ямы .

                             U

                    U=∞         U=0               U=∞


                         0                    x

В классической механике частица свободно движется с постоянной скоростью в области ямы 0 < x < , испытывая упругие «столкновения» со стенками ямы, когда знак ее скорости Vx меняется на противоположный. Кинетическая энергия частицы

img065

может принимать любые значения от 0 до ¥ (скорость света с считается бесконечной) и в процессе движения сохраняется постоянной.

В квантовой механике для нахождения стационарных состояний частицы необходимо решить стационарное уравнение Шредингера

img066   img067                                                                                    (1)

при граничных условиях

img068                                                                                                                                     (2)

поскольку частица с конечной энергией Е не может попасть в области х < 0 и х > , где потенциальная энергия частицы обращается в бесконечность.

Решения стационарного уравнения Шредингера при заданных граничных условиях имеет вид

img069                                                                                                                                (3)

где

img070 img071 img072.                                                            (4)

Таким образом, энергия стационарных состояний может принимать только дискретные значения (в этом случае говорят о дискретном энергетическом спектре)

img073                                                                                                                                     (5)

где n = 1 соответствует низшему энергетическому уровню с минимальной энергией

img074                                                                                                                                          (6)

Это квантовый эффект, связанный с соотношением неопределенностей, поскольку в классической механике минимальная энергия частицы равна 0.

Низшее энергетическое состояние отделено от первого возбужденного состояния энергетической щелью шириной

img075                                                                                                        (7)

поэтому частица может оставаться на низшем энергетическом уровне, если энергия ее взаимодействия с окружающей средой меньше DЕ. Дискретность энергетического спектра и существование минимальной энергии частицы, отличной от 0, являются проявлениями волнового характера движения частицы.

Полная волновая функция стационарного состояния имеет вид

img076                                                                                                (8)

где нормировочная постоянная сn определяется условием

img077                                                                                                        (9)

Отсюда находим, что

img078                                                                                                                                                  (10)

для всех n. Энергия частицы в потенциальной яме есть кинетическая энергия и определяется выражением (6).

Пример. Энергетический спектр гармонического осциллятора.

Энергетический спектр частицы в потенциальной яме, определяемой формулой

img079                                                                                                                                          (1)

где k > 0 – постоянная, описывается решениями следующего стационарного уравнения Шредингера

img080                                                                                                (2)

При граничных условиях

img081                                                                                                                                     (3)

решение данной граничной задачи, определяющее энергетический спектр одномерного гармонического осциллятора в квантовой механике, записывается с помощью специальных функций – полиномов Эрмита Нn:

img082                                                        (4)

где img083, m – масса частицы. Энергетический спектр опять является дискретным и определяется формулой

img084 img085.                                                                                         (5)

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.04 секунд 4,189,927 уникальных посетителей