December 10 2016 05:04:06
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Статистическое определение энтропии
Начала термодинамики
  1. Статистический вес макросостояния. Термодинамическая вероятность макросостояния.

  2. Формула Больцмана для энтропии.

  3. Классическая статистика Больцмана.

  4. Квантовые статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.

  5. Статистический характер закона возрастания энтропии.

  6. Кинетическое уравнение Л.Больцмана.

  7. Проблема необратимости временной эволюции макроскопических систем.

  8. Энтропия и информация.


Статистическая физика дает наиболее общий и полный метод описания как равновесных, так и неравновесных состояний макроскопических систем. В основу своего статистического анализа равновесных и неравновесных состояний Л.Больцман (1844 – 1906) положил связь между микросостояниями и макросостоянием системы, выраженную с помощью понятия вероятности. Больцман также предложил метод, позволяющий описать временную эволюцию системы из неравновесного в равновесное состояние.

Пусть имеется замкнутая система из N частиц, взаимодействующих между собой посредством консервативных сил, совершающих движение в ограниченной области пространства и обладающих суммарной энергией Е. Все возможные состояния этой системы изображаются точками в фазовом пространстве с размерностью 6N, которые распределены в некоторой области G этого пространства, задаваемой энергией системы.

Разделим область G на s одинаковых по объему ячеек img498, i=1,2,3,…,s таким образом, что энергия частицы в i-ой ячейке равна img499. Микросостояние задается путем указания конкретных ячеек, в которых находится каждая из N частиц. Макросостояние определяется полным набором чисел частиц img500, находящихся во всех s ячейках. Статистический вес img501 макросостояния по определению равен числу всех возможных микросостояний, реализующих заданное макросостояние при фиксированных s, N, E и G.

Л.Больцман принял одинаковую вероятность реализации любого микросостояния, возможного для заданного макросостояния, и определил термодинамическую вероятность img502 макросостояния на основе формулы

img503 .                                                   (10.1)

Здесь термодинамическая вероятность может принимать значения много больше 1.

Используя термодинамическую вероятность (10.1), Л.Больцман дал статистическое (вероятностное) определение энтропии S макросостояния с помощью выражения

img504 ,                                        (10.2)

где k – постоянная Больцмана. Натуральный логарифм в (10.2) обеспечивает аддитивность энтропий подсистем полной системы, поскольку статистический вес полной системы равен произведению статистических весов ее макроскопических подсистем.

В соответствии со вторым началом термодинамики энтропия равновесного состояния замкнутой системы принимает максимальное значение. Следовательно, статистический вес и термодинамическая вероятность равновесного состояния также максимальные. Условие максимума статистического веса макросостояния позволяет найти наиболее вероятные распределения частиц по ячейкам фазового пространства и, соответственно, по энергиям как в классической, так и в квантовой физике.

В случае классической статистики Больцмана частицы считаются одинаковыми, но различимыми и можно проследить за траекторией движения каждой частицы. Следовательно, перестановки частиц между различными ячейками фазового пространства приводят к новым микросостояниям для заданного макросостояния. Для макросостояния с известными числами img505 статистический вес определяется выражением

img506                                          (10.3)

Здесь учтено, что перестановки частиц в пределах отдельной ячейки не дают новые микросостояния.

Максимум статистического веса img507 ищется при двух дополнительных условиях

img508 ,     img509 ,                                    (10.4)

задающих полное число частиц N в системе и их суммарную энергию E. Если принять, что все числа img510 и использовать формулу Стирлинга

img511 ,    img512 ,

то условный максимум выражения (10.3) получается при

img513 ,    img514 .                                (10.5)

Здесь img515- наиболее вероятное (среднее) число частиц в i –ой ячейке фазового пространства, μ – химический потенциал системы (нормировочная постоянная, связанная с полным числом частиц) и Т – температура равновесного состояния, зависящая от полной энергии системы. Таким образом, получается уже известный закон распределения Больцмана для классических частиц.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.05 секунд 4,204,234 уникальных посетителей