December 03 2016 02:26:43
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Статистический метод описания равновесной системы одинаковых частиц
Начала термодинамики

Тема 3. Функции распределения равновесного идеального газа

  1. Основная задача статистической физики.

  2. Случайные события, процессы и величины. Массовые явления.

  3. Вероятность случайного события. Опытное определение вероятности как устойчивой частоты случайного события. Априорная вероятность.

  4. Функция распределения, или плотность вероятности. Среднее значение, квадратичная дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

  5. Распределение Гаусса.

  6. Фазовое пространство и фазовая траектория частицы. Тепловое движение – случайный стационарный процесс в  многомерном фазовом пространстве.


Термодинамический метод основан на описании макросостояния равновесной системы с помощью усреднённых по всем ее частицам характеристик - макропараметров, к которым относятся температура Т, давление Р и объём V. Равновесное состояние термодинамической системы полностью определяется двумя независимыми макропараметрами, поэтому говорят, что эта система обладает двумя термодинамическими степенями свободы. Здесь подразумевается, что система однокомпонентная, т.е. состоит из одинаковых частиц.

Термодинамический подход справедлив, если выполнен ряд условий:

  1. число частиц системы img320;

  2. объем системы img321, гдеimg322 - средняя длина свободного (без столкновений) пробега частиц;

  3. время наблюдения (измерения параметров системы) img323, где img324 - время релаксации (время перехода системы из неравновесного состояние в равновесное).

Фактически в термодинамике используется усреднение характеристик системы по объему img325 и времени img326.

Система из N частиц  в действительности обладает 3N>>1 степенями свободы. Микросостояние, содержащее наиболее полную информацию о частицах системы, согласно законам механики требует задания 3N координат и 3N проекций на координатные оси скоростей для всех N частиц системы. Для многих реальных систем определение микросостояния практически невозможно в силу гигантского числа частиц. Например, для нормальных условий (img327) в img328воздуха в среднем находится ≈img329 молекул.

В этом случае для описания совокупности всех возможных микросостояний системы применяется статистический метод, который   основан на вероятностном подходе.  Здесь также используется усредненное описание. Однако пространственный и временной масштабы усреднения существенно меньше, чем в термодинамике:

  1. пространственный масштаб усреднения img330, где img331 - среднее расстояние между соседними частицами;

  2. временной масштаб усреднения img332, где img333 - средняя скорость движения частиц.

Основная задача статистической физики заключается в установлении связей между характеристиками микро - и макросостояний, а также описании временной  динамики перехода системы из неравновесного состояния в равновесное. Впервые статистический метод описания равновесного состояния для системы одинаковых частиц использовал Д.К.Максвелл, который рассмотрел тепловое движение частиц как стационарный (не зависящий от выбора момента времени) случайный процесс. Большой вклад в создание фундамента современной статистической физики внесли Л.Больцман (1844-1906), Дж.У.Гиббс (1839-1908) и А.Эйнштейн (1879-1955).

Математический аппарат статистической физики есть теория вероятностей, где первичными понятиями являются:

  1. случайное событие – событие, которое при одинаковых макроскопических условиях может либо произойти, либо не произойти;

  2. массовое явление – совокупность (множество) случайных событий;

  3. случайный процесс – процесс, состояния которого во времени меняются случайным образом и описываются вероятностными законами;

  4. случайная величина – характеристика случайного процесса;

  5. вероятность – численная мера возможности реализации определённых случайных событий при заданных условиях.

В качественном отношении вероятность выражает связь между потенциально возможным и реальным. Для количественного определения вероятности в математике используется пространство элементарных случайных событий, на котором вводится класс рассматриваемых событий А. На этом классе событий определяется неотрицательная функция множества img334 - распределение вероятностей (вероятностная мера). Значение img335 функции P для некоторого события A1 из рассматриваемого множества называется вероятностью события А1.

    На практике вероятность img336 некоторого случайного события A связывается с устойчивой частотой img337 реализации этого события

img338 ,                                      (7.1)

где img339 - полное число испытаний с одинаковыми макроскопическими условиями и img340 - число испытаний с благоприятным исходом, когда событие А действительно происходит. Формула (7.1) позволяет находить вероятность случайного события опытным путём.

    Если рассматриваются несовместимые и равновозможные события, то для них можно вычислить априорную (до опыта) вероятность. События A и В называются несовместимыми, если появление события А исключает появление события В, и наоборот. Равновозможные события – это такие события, для которых нет никаких оснований ожидать, что при испытаниях одно из них будет появляться чаще других. Априорная вероятность находится посредством логических рассуждений с использованием обоснованных предположений.

Пример. Рассмотрим подбрасывание вверх однородного кубика правильной геометрической формы, на гранях которого изображены все цифры от 1 до 6 включительно. Выпадения определённых цифр на верхней грани упавшего кубика являются несовместимыми событиями. Если в полёте кубик совершает большое количество поворотов вокруг осей разной ориентации, то выпадение разных цифр являются случайными равновозможными событиями. Отсюда следует, что априорная вероятность выпадения любой цифры, например 6, равна 1/n=1/6, где n=6 – число граней кубика.

Вопрос. Чему равна априорная вероятность того, что после N бросков цифра 6 выпадет хотя бы один раз? (Ответ: img341).

Следует подчеркнуть, что устойчивая частота не всегда может быть интерпретирована, как вероятность некоторого события. Например, десятичное представление иррационального числа img342 содержит все цифры от 0 до 9 с одинаковой устойчивой частотой, равной 0,1. Однако данную устойчивую частоту нельзя принять за вероятность, поскольку появление цифр в десятичном представлении числа img343 есть алгоритмический, а не случайный процесс.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.04 секунд 4,189,977 уникальных посетителей