December 10 2016 05:00:15
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Собственные колебания физического маятника
Физические основы механики
  1. Математический маятник

Математический маятник — это идеализированная система, представляющая собой материальную точку на невесомой и нерастяжимой нити. Хорошим приближением к этой модели является маленький тяжелый шарик на легкой длинной нити (рис.12.6).

Рис. 12.6

Движение такого маятника происходит под действием двух сил: силы тяжести — img695 и упругой силы натяжения нити — img696. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на касательное направление img697:

mg Sin j = mat.                   (12.8)

Тангенциальное ускорение at связано с угловым ускорением img698:

img699.

Учтя это соотношение, перепишем уравнение движения ещё раз:

img700,

или так:

img701.

При условии «малых колебаний» Sin j » j и уравнение движения приобретает знакомую форму:

img702.                       (12.9)

Это дифференциальное уравнение малых колебаний математического маятника. Решение такого уравнения известно — это гармоническая функция:

j = j0 Cos (wt + a).

Квадрат круговой частоты этих колебаний равен коэффициенту при функции в уравнении (12.9):

img703, то есть img704.                 (12.10)

Частота определяется только длиной нити. Период колебаний математического маятника равен:

img705.                  (12.11)

  1. Собственные колебания физического маятника

Физическим маятником можно назвать любое твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси. Возьмём в качестве такого маятника однородный тонкий стержень длиной l (рис. 12.7).

Рис. 12.7

Ось колебания проходит через точку О, отстоящую на расстоянии d от центра масс стержня — точки С. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

img706.                       (12.12)

Здесь img707 — момент внешних сил, вращающих тело относительно горизонтальной оси x. Такая сила в системе одна — сила тяжести. Её момент равен произведению величины силы на «плечо» — на расстояние от оси вращения до линии действия силы — b:

img708,

где j — угол, который образует стержень с вертикалью.

Вычисляя момент инерции стержня Ix, воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера:

img709.

img710 — момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку центра масс.

Учитывая, что угловое ускорение img711. Запишем уравнение колебаний физического маятника в следующем виде:

img712.

В случае малых углов отклонения, когда Sinj » j, это уравнение можно упростить:

img713.                  (12.13)

Уравнение (12.13) — дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в стандартном виде. Известно, что решением подобного уравнения является гармоническая функция:

img714,                  (12.14)

где частота собственных незатухающих колебаний:

img715.                       (12.15)

Период собственных колебаний физического маятника

img716.                  (12.16)

Сравнивая (12.16) с периодом колебаний математического маятника img717, легко установить, что их периоды будут совпадать, если длина математического маятника окажется равной img718, l0 — называется приведенной длиной физического маятника, она равна длине такого математического маятника, период которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Для вычисления частоты и периода собственных незатухающих колебаний, например, тонкого стержня, нужно в соответствующих формулах [(12.15), (12.16)] использовать момент инерции стержня img719.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.05 секунд 4,204,171 уникальных посетителей