December 05 2016 16:34:19
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Прежде чем считать стоимость ремонта двухкомнатной квартиры надо составить смету.
Скорость звука в средах
Физика колебаний и волн. Квантовая физика
  • Продольные волны в твёрдом теле

    Нанесём удар по оси металлического (для определённости) стержня. В стержне возникает упругая волна деформации ξ = ξ(x).

    Выделенный элемент стержня (Δx) не только сместится при прохождении волны, но и деформируется (рис.2.1). Это и понятно: ведь смещения разных сечений стержня будут разными. Например, если  

    ξ — смещение сечения x, а (ξ + Δξ) — смещение сечения (x + Δx), то

    Δξ — абсолютная деформация выделенного элемента(Δx).

    img079относительная деформация в сечении x.

    По поводу этой характеристики сделаем два замечания.

    Во-первых, это не усреднённое значение относительной деформации по всему элементу Δx, а локальная характеристика «в сечении».

    Во-вторых, мы здесь воспользовались частной производной по координате, памятуя о том, что деформация при прохождении по стержню волны меняется ещё и во времени. В данном случае нас интересует фотография процесса: мы рассматриваем изменение деформации вдоль стержня в заданный момент «остановленного» времени.

    В результате деформации стержня в его сечении возникают упругие силы, интенсивность которых принято характеризовать напряжением:

    img080

    Согласно закону Гука напряжение в любом сечении стержня пропорционально относительной деформации ε:

    σ = E ε.

    Здесь E — модуль упругости (Юнга).

    img081

    Теперь запишем основное уравнение динамики для выделенного элемента стержня img082:

                                                           img083  

    Рис. 2.1


                                                             Рис.2.1

    В этом уравнении:

    img084,

    img085 - масса выделенного элемента,

    img086 - его ускорение.

    Распишем по – подробнее упругую силу, действующую вдоль оси стержня.

    img087

    Таким образом

                                                      img088                                                  

    Теперь уравнение второго закона Ньютона  можно привести к следующему виду:

                                                             img089.                                         (2.2)

    Или записать его так:

    img090.                  (2.3)

    Сравним этот результат с уравнением (2.1).

    Понятно, что полученный нами результат (2.3) — классическое дифференциальное волновое уравнение.

    Отсюда как минимум два вывода:

    1. Нанося удар по стержню, мы возбуждаем в нём волновой процесс.

    2. Скорость распространения такой продольной волны в стержне               

    определяется только его материалом: плотностью (ρ) и модулем упругости (E).

                                                              img091                                                       (2.4)

    1. Упругая волна в идеальном газе

    Будем для определенности рассматривать распространение звуковой волны в воздухе (вдоль оси x).

    Как и прежде, выделим элемент сечением S и длиной Δx (рис. 2.2).

    На основания x и x + Δx этого элемента со стороны окружающего воздуха будут действовать силы F(x) и F(x + Δx). Их принято задавать давлением в этих сечениях:

    img092 и img093.

    В отсутствии волны давление в обоих сечениях одинаково — Р.

    При прохождении волны выделенный элемент смещается и деформируется, а давление газа меняется и становится функцией и координаты (х) и времени (t).







    Рис. 2.2

    Вновь запишем знакомое уравнение динамики для рассматриваемого элемента газа:

    F = m · a.

    В нашем случае:

    m = ρ sΔx

    img094,

    img095

    Здесь img096 — новое давление газа, возникающее при прохождении волны.

    img097

    img098

    Определив таким образом силу, действующую на выделенный элемент газа, вернёмся к уравнению Ньютона:

    img099

    или

    img100                        (2.5)

    Постараемся теперь выяснить, как меняется давление img101 вдоль оси x (img102).

    Акустическая волна в газе — «быстротекущий» процесс. «Быстротекущий» по сравнению с процессом теплопроводности, поэтому термодинамически волны принято описывать адиабатическим процессом img103. Здесь γ — постоянная адиабаты. Для воздуха, например,  γ = 1.4.

    img104

    Понятно, что img105поэтому

    img106

    Скобку разложим в биномиальный ряд, ограничившись его первыми членами.

    [Биноминальный ряд: img107].

    img108.

    Отсюда следует:

    img109.

    img110.

    img111.

    Этот результат мы и используем в уравнении движения (2.5):

    img112

    Осталось слегка преобразовать этот результат:

    img113

    и сравнить его с уравнением (2.1).

    Выводы:

    1. Мы вновь получили дифференциальное волновое уравнение.

    2. Скорость распространения акустической волны в газе зависит только от его состояния

    img114.                       (2,6)

    img115

    img116.

    3. Скорость звука в воздухе при нормальных условиях (img117) равна:

    img118

    img119.

    Теперь понятно, почему во всём мире воздушные лайнеры летают со скоростью 900 км/час. Они вплотную подобрались к скорости звука. Летать с большой скоростью - значит преодолеть «звуковой барьер». Для этого нужны совсем другие самолёты. И другие деньги.

  • Комментарии
    Нет комментариев.
    Добавить комментарий
    Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
    Рейтинги
    Рейтинг доступен только для пользователей.

    Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

    Нет данных для оценки.

    Время загрузки: 0.05 секунд 4,195,132 уникальных посетителей