Нанесём удар по оси металлического (для определённости) стержня. В стержне возникает упругая волна деформации ξ = ξ(x).
Выделенный элемент стержня (Δx) не только сместится при прохождении волны, но и деформируется (рис.2.1). Это и понятно: ведь смещения разных сечений стержня будут разными. Например, если
ξ — смещение сечения x, а (ξ + Δξ) — смещение сечения (x + Δx), то
Δξ — абсолютная деформация выделенного элемента(Δx).
— относительная деформация в сечении x.
По поводу этой характеристики сделаем два замечания.
Во-первых, это не усреднённое значение относительной деформации по всему элементу Δx, а локальная характеристика «в сечении».
Во-вторых, мы здесь воспользовались частной производной по координате, памятуя о том, что деформация при прохождении по стержню волны меняется ещё и во времени. В данном случае нас интересует фотография процесса: мы рассматриваем изменение деформации вдоль стержня в заданный момент «остановленного» времени.
В результате деформации стержня в его сечении возникают упругие силы, интенсивность которых принято характеризовать напряжением:
Согласно закону Гука напряжение в любом сечении стержня пропорционально относительной деформации ε:
σ = E ε.
Здесь E — модуль упругости (Юнга).
Теперь запишем основное уравнение динамики для выделенного элемента стержня 
:
Рис. 2.1
Рис.2.1
В этом уравнении:
,
- масса выделенного элемента,
- его ускорение.
Распишем по – подробнее упругую силу, действующую вдоль оси стержня.
Таким образом
Теперь уравнение второго закона Ньютона можно привести к следующему виду:
. (2.2)
Или записать его так:
. (2.3)
Сравним этот результат с уравнением (2.1).
Понятно, что полученный нами результат (2.3) — классическое дифференциальное волновое уравнение.
Отсюда как минимум два вывода:
1. Нанося удар по стержню, мы возбуждаем в нём волновой процесс.
2. Скорость распространения такой продольной волны в стержне
определяется только его материалом: плотностью (ρ) и модулем упругости (E).
(2.4)
Будем для определенности рассматривать распространение звуковой волны в воздухе (вдоль оси x).
Как и прежде, выделим элемент сечением S и длиной Δx (рис. 2.2).
На основания x и x + Δx этого элемента со стороны окружающего воздуха будут действовать силы F(x) и F(x + Δx). Их принято задавать давлением в этих сечениях:
и 
.
В отсутствии волны давление в обоих сечениях одинаково — Р.
При прохождении волны выделенный элемент смещается и деформируется, а давление газа меняется и становится функцией и координаты (х) и времени (t).
Рис. 2.2
Вновь запишем знакомое уравнение динамики для рассматриваемого элемента газа:
F = m · a.
В нашем случае:
m = ρ sΔx
,
Здесь 
— новое давление газа, возникающее при прохождении волны.
Определив таким образом силу, действующую на выделенный элемент газа, вернёмся к уравнению Ньютона:
или
(2.5)
Постараемся теперь выяснить, как меняется давление 
вдоль оси x (
).
Акустическая волна в газе — «быстротекущий» процесс. «Быстротекущий» по сравнению с процессом теплопроводности, поэтому термодинамически волны принято описывать адиабатическим процессом 
. Здесь γ — постоянная адиабаты. Для воздуха, например, γ = 1.4.
Понятно, что 
поэтому
Скобку разложим в биномиальный ряд, ограничившись его первыми членами.
[Биноминальный ряд: 
].
.
Отсюда следует:
.
.
.
Этот результат мы и используем в уравнении движения (2.5):
Осталось слегка преобразовать этот результат:
и сравнить его с уравнением (2.1).
Выводы:
1. Мы вновь получили дифференциальное волновое уравнение.
2. Скорость распространения акустической волны в газе зависит только от его состояния
. (2,6)
.
3. Скорость звука в воздухе при нормальных условиях (
) равна:
.
Теперь понятно, почему во всём мире воздушные лайнеры летают со скоростью 900 км/час. Они вплотную подобрались к скорости звука. Летать с большой скоростью - значит преодолеть «звуковой барьер». Для этого нужны совсем другие самолёты. И другие деньги.
Скорость звука в средах