December 05 2016 16:39:53
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Скатывание тел с наклонной плоскости
Физические основы механики

С тем, чтобы проиллюстрировать применение законов динамики твёрдого тела, решим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости (рис. 10.5).

Сплошной цилиндр массы m и радиуса R скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости. Угол наклона плоскости — a, а высота Н (Н » R). Начальная скорость цилиндра равна нулю. Определим время скатывания — Т и скорость центра масс цилиндра у основания наклонной плоскости.

При качении цилиндра на него действуют три силы: сила тяжести img615, упругая сила реакции опоры img616 и сила трения покоя img617 (ведь качение без проскальзывания!).

Представим это движение суммой двух движений: поступательного со скоростью VC, с которой движется ось цилиндра, и вращательного вокруг оси цилиндра с угловой скоростью w.

                              img618.                  (10.9)

Рис. 10.5

Эта связь скоростей поступательного и вращательного движений следует из условия «движение без проскальзывания».

Продифференцировав уравнение (10.9) по времени, получим соотношение углового и линейного ускорений цилиндра:

img619, то есть img620.

Воспользовавшись теоремой о движении точки центра масс, опишем поступательное движение цилиндра:

                    img621.             (10.10)

Для описания вращения воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения:

                         MC = IC × e.                       (10.11)

Спроецировав уравнение (10.10) на направления осей x и y, получим два скалярных уравнения:

                    x:   mgSina – Fтр = maC;                (10.12)

                    y:   Nmgсosa = 0.                    (10.13)

Обратимся теперь к уравнению (10.11). Из трёх названных сил момент относительно оси цилиндра создаёт только сила трения:

img622.

Момент инерции сплошного цилиндра относительно его оси равен (см. лекцию №9):

img623.

Учитывая всё это, уравнение (10.11) перепишем так:

               img624.             (10.14)

Решая совместно уравнения (10.12) и (10.14), получим следующие значения неизвестных величин:

                    img625;                       (10.15)

                    img626.                            (10.16)

Из уравнения (10.15) следует, что с увеличением угла наклона a должна возрастать и сила трения покоя Fтр. Но, как известно, её рост ограничен предельным значением:

                    img627.                  (10.17)

Так как сила трения покоя (10.15) не может превышать предельного значения (10.17), то  должно выполняться неравенство:

mgSina ≤ mmgCosa.

Отсюда следует, что скатывание будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угол a не превзойдёт значения aпред:

aпред = arctg3m.

Здесь m — коэффициент трения цилиндра по плоскости.

Линейное ускорение цилиндра (10.16) величина неизменная, следовательно, поступательное движение цилиндра равноускоренное. При таком движении без начальной скорости цилиндр достигнет основания наклонной плоскости за время:

img628.

Здесь:    l = img629 — длина плоскости;

     a =img630, (см.10.16).

Значит, время скатывания:

                    img631.             (10.18)

Вычислим конечную скорость поступательного движения оси цилиндра:

                    img632.        (10.19)

Заметим, что эту задачу можно решить проще, воспользовавшись законом сохранения механической энергии.

В системе, правда, присутствует сила трения, но её работа равна нулю, поскольку точка приложения этой силы в процессе спуска остаётся неподвижной: ведь движение происходит без проскальзывания. Раз нет работы силы трения, механическая энергия системы не меняется.

Рассмотрим энергию цилиндра в начальный момент — на высоте h и в конце спуска. Полная энергия цилиндра в этих положениях одинакова:

img633.

Вспомним, что img634 и img635. Тогда уравнение закона сохранения энергии можно переписать так:

img636.

Отсюда легко найдём конечную скорость цилиндра:

img637,

которая блестяще подтверждает полученный нами ранее результат (10.19).

Комментарии
#1 | Madara November 18 2013 20:39:34
А нельзя никак без чёрных прямоугольников?
#2 | destr037 December 22 2013 08:48:06
+1
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Отлично! Отлично! 0% [Нет голосов]
Очень хорошо Очень хорошо 0% [Нет голосов]
Хорошо Хорошо 0% [Нет голосов]
Удовлетворительно Удовлетворительно 100% [1 Голос]
Плохо Плохо 0% [Нет голосов]

Время загрузки: 0.07 секунд 4,195,222 уникальных посетителей