December 10 2016 05:00:33
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
силовые линии
Основы электростатики

1. Понятие векторного поля и потока векторного поля через поверхность.

2. Теорема Гаусса для электрического поля в вакууме.

3. Применение теоремы Гаусса для расчёта электрического поля симметричных пространственных распределения заряда:

а) равномерно заряженная плоскость;

б) равномерно заряженный тонкий прямолинейный стержень бесконечной длины;

с) равномерно заряженный шар.

Совокупность векторных величин img059, заданных во всех точках некоторой области пространства, образует векторное поле. Примером векторного поля может служить совокупность  векторов напряженности электрического поля Е точечного заряда img060, находящегося в вакууме

img061.                                                                        (2.1)

Векторы img062 заданы во всех точках пространства, исключая только одну точку, в которой находится сам заряд. Понятие векторного поля в описании электромагнитных явлений впервые применил М.Фарадей около 1830 г.

Для количественных характеристик векторных полей используются специальные дифференциальные и интегральные операции. Одной из таких интегральных операций является вычисление потока векторного поля (или просто вектора) через заданную поверхность. Понятие и термин потока векторного поля введены Дж. К. Максвеллом в 1873 г.

Пусть имеется некая гладкая поверхность img063. Разобьём эту поверхность на совокупность бесконечно малых элементов площади img064. Каждый элемент можно считать плоским, а векторное поле img065 в пределах отдельного элемента - постоянным. Для каждого элемента поверхности введём единичный вектор нормали img066, где img067 - радиус-вектор центра элемента. Векторная функция img068 является непрерывной на всей поверхности img069.

Потоком векторного поля img070 или просто потоком вектора через поверхность img071 называется скалярная величина

fSimg072=img073 ,                                                                        (2.2)

где (img074) - скалярное произведение векторов img075и img076. Поток вектора определён с точностью до знака, который зависит от выбора ориентации вектора нормали.

Пространственная структура векторного поля характеризуется с помощью потока вектора через замкнутую поверхность

fSimg077.                                                                       (2.3)

В случае электростатики поток вектора напряженности поля через замкнутую поверхность описывает пространственную структуру электрического поля, созданного неподвижным зарядом.

Рассмотрим поток вектора напряженности электрического поля img078, созданного неподвижным зарядом img079 в вакууме, через произвольную замкнутую поверхность img080

fSimg081.                              (2.4)

Здесь img082 - радиус- вектор, проведённый из точки нахождения точечного заряда img083 в центр элемента поверхности с площадью img084, img085- единичный вектор внешней нормали и

img086                                                                            (2.5)

-бесконечно малый телесный угол, под которым виден элемент поверхности из точки, в которой находится заряд img087.

Если заряд q находится внутри области, ограниченной замкнутой поверхностью S, то

img088                                                                                  (2.6)

и

img089                                                                            (2.7)

Если заряд img090 находится вне области, ограниченной замкнутой поверхностью img091, то

img092                                                                                     (2.8)

и

img093                                                                              (2.9)

С помощью принципа суперпозиции полученные результаты обобщаются на любую систему неподвижных точечных зарядов или непрерывное пространственное распределение зарядов в вакууме. В итоге для вектора напряженности электростатического поля оказывается справедливой теорема Гаусса:

В вакууме поток вектора напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность img094 равен полному заряду img095, находящемуся в области, которая ограничена этой поверхностью, и деленному на электрическую постоянную img096

img097     .     (2.10)

Поскольку электрический заряд есть релятивистский инвариантная величина, то соотношение (2.10) не зависит от движения заряда внутри рассматриваемой области и имеет одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта. Отметим, что величины img098 и img099, а также форма замкнутой поверхности зависят от выбора инерциальной системы отсчёта.

Здесь теорема Гаусса была получена с помощью формулы (2.1) для вектора напряженности электрического поля неподвижного точечного заряда в вакууме. Если принять теорему Гаусса (2.10) за первичное положение, то из неё можно вывести формулу (2.1).

Если пространственное распределение зарядов обладает  высокой симметрией, т.е. не меняется при достаточно общих пространственных операциях сдвига и поворота системы координат, то теорема Гаусса даёт простой способ вычисления пространственного распределения вектора напряженности соответствующего электрического поля, которое не меняется при аналогичных пространственных преобразованиях. Ниже рассматриваются 3 примера на расчёт электрического поля с помощью теоремы Гаусса.

а) Электрическое поле равномерно заряженной плоскости.

Пусть электрический заряд распределен в плоскости xoy с постоянной поверхностной плоскостью заряда

img100,                                                                     (2.11)

где img101- заряд, приходящий на элемент плоскости площади img102(рис 2.1).

img103

Рис 2.1

В верхнем полупространстве img104>0 выберем произвольную точку наблюдения img105 и покажем, что вектор img106 в этой точке направлен по оси img107. Для этого из т. img108 опустим перпендикуляр на заряженную плоскость хоу, который пересекает данную плоскость в точке img109'. Проведём через отрезок прямой img110' некоторую вертикальную плоскость и на прямой пересечения этой плоскости с заряженной плоскостью хоу на равном расстоянии от т. img111' выберем два равных точечных бесконечно малых заряда

img112 и img113'img114' , img115'.                                                         (2.12)

Поскольку радиус-вектор img116 и img117', проведенные из этих зарядов в т. img118, имеют  одинаковую длину, то векторы напряженностей электрических полей, созданных в т. img119 данными зарядами, имеют одинаковую величину

img120'.                                                                    (2.13)

Углы img121 и img122', образованные векторами img123 и img124' с перпендикуляром img125', равны друг другу

img126'.                                                                    (2.14)

Из (2.12)-(2.14) следует, что вектор напряженности суммарного электрического поля двух зарядов img127 и img128'

img129                                                                      (2.15)

направлен по оси img130. Поскольку все заряды на плоскости хоу можно разбить на такие пары, то вектор напряженности электрического поля всей заряженной плоскости в любой точке верхнего полупространства направлен по оси img131.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.05 секунд 4,204,175 уникальных посетителей