October 01 2014 23:17:59
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Распределение Больцмана
Задачи по физике с решениями

Если равновесный идеальный газ с температурой Т находится во внешнем поле консервативной силы, его одночастичная функция распределения в координатном подпространстве фазового пространства имеет вид

img241 .

Здесь img242 – потенциальная энергия частицы, связанная с внешней консервативной силой, k – постоянная Больцмана и с – постоянная, определяемая условием нормировки функции распределения

img243 ,

где V – объем области, в которой находятся частицы.

Отсюда получаем, что

img244 .

Данное распределение называется распределением Больцмана.

Изменения во времени координат и скоростей частиц при тепловом движении являются независимыми случайными процессами, поэтому полная одночастичная функция распределения по координатам и скоростям есть произведение функция распределения Больцмана и Максвелла

img245 ,

где img246 – полная энергия частицы, равная сумме её потенциальной и кинетической энергий, а нормальная постоянная img247, img248 и img249 – нормировочные постоянные распределений Больцмана и Максвелла.

Задача №13

Определить среднюю тепловую энергию img250 одномерного классического гармонического осциллятора в состоянии равновесия с температурой Т.

Решение

Пусть осциллятор совершает гармонические колебания вдоль оси х и точка х=0 определяет его устойчивое положение равновесия. Средняя тепловая энергия гармонического осциллятора

img251 ,                                                                  (13.1)

m – масса осциллятора и к>0 – постоянная, определяющая возвращающую силу img252. Частота колебаний осциллятора img253.

В состоянии теплового равновесия распределение по скоростям img254 даётся законом Максвелла

img255 ,             (13.2)

а распределение по координате х – законом Больцмана

*img257 .                (13.3)

Следовательно,

img258

img259 ,             (13.4)

img260               (13.5)

и средняя полная энергия (13.1) теплового движения гармонического осциллятора принимает вид

img261 .                 (13.6)

Отметим, что в полном соответствии с законом о равнораспределении средней кинетической энергии теплового движения по всем степеням свободы

img262 ,

причем для гармонического осциллятора

img263 .

Ответ: img264.

Задача №14

Определить среднюю потенциальную энергию img265 молекул азота img266 в однородном (img267) поле силы тяжести Земли, если температура атмосферы Т считается постоянной по всей высоте.

Решение

Распределение молекул азота по высоте во внешнем поле консервативной силы тяжести описывается законом Больцмана

img268 ,                  (14.1)

где m – масса молекулы азота, g – ускорение свободного падения, ось z направлена вертикально вверх, img269– потенциальная энергия молекулы азота на высоте z, img270 соответствует поверхности Земли и с – постоянная, определяемая из условия нормировки:

img271       (14.2)

и

img272 .                 (14.3)

С учетом (14.1) и (14.3) средняя потенциальная энергия молекулы азота

img273

img274 .                                         (14.4)

Если температура атмосферы повышается, средняя кинетическая энергия теплового движения молекул азота увеличивается и соответственно увеличивается вероятность их нахождения на большей высоте, что приводит к росту средней потенциальной энергии.

Ответ: img275.

Задача №15

Для определения числа Авогадро NA Ф. Перрен измерял распределение по высоте одинаковых сферических частиц гуммигута, взвешенных в воде. Он нашел, что при радиусе частиц img276 мкм, плотности гуммигута img277 г/см3, плотности воды img278 г/см3 и температуре воды img279отношение чисел частиц в слоях воды, отстоящих друг от друга по высоте на img280, равно img281. На основании приведенных данных оцените число Авогадро.

Решение

В состоянии теплового равновесия распределение числа частиц гуммигута по высоте z описывается законом Больцмана

img282 ,                    (15.1)

где img283– постоянная,

img284           (15.2)

– потенциальная энергия частиц с учетом как силы тяжести, так и выталкивающей силы, определяемой законом Архимеда, и

img285                      (15.3)

– масса одной сферической частицы.

Согласно условиям задачи и (15.1) - (15.3)

img286 ,                (15.4)

что позволяет найти постоянную Больцмана

img287 .        (15.5)

Известная универсальная газовая постоянная

img288 ,

поэтому число Авогадро NA с учетом (15.5)

img289 ,

что достаточно близко к современному значению 6,022×1023 1/моль.

Ответ: img290.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.04 секунд 2,485,109 уникальных посетителей