December 10 2016 05:04:02
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Работа неконсервативных сил
Физические основы механики

Рассмотрим систему n материальных частиц.

Пусть при их взаимодействии друг с другом возникают только консервативные силы img398, img399, …, img400. Это внутренние силы системы. Кроме того, на элементы системы действуют и внешние силы:

     консервативные: img401, img402, …, img403

и

     неконсервативные: img404, img405, …, img406.

Для каждого элемента системы запишем в векторном виде уравнение движения (уравнение второго закона Ньютона):

img407.

Домножим скалярно все эти уравнения на элементарные перемещения соответствующих частиц: img408.

img409.

Сложим эти n уравнений:

img410.

Первое слагаемое слева — изменение кинетической энергии системы:

                    img411.             (7.1)

Второе слагаемое — это сумма работ только консервативных сил (внешних и внутренних): как мы знаем, работа консервативных сил равна изменению потенциальной энергии системы с обратным знаком, т.е. её убыли:img412

img413;

img414.

Правая часть уравнения (7.1) — это работа внешних неконсервативных сил.

Таким образом:

img415.

При переходе системы из состояния 1 в состояние 2:

img416.

Мы пришли к следующему важному выводу:

img417.

Работа, совершаемая внешними неконсервативными силами при переходе системы из одного состояния в другое, равна изменению механической энергии системы.

Следующий пример показывает, как эффектно может быть использован полученный результат при решении задач.

С наклонной плоскости высотой 0.5 м и длиной 1 м без начальной скорости соскальзывает небольшая шайба. Определить коэффициент трения шайбы о плоскость, если у основания плоскости скорость шайбы равнялась 2.45 м/с (рис. 7.2).

h = 0.5 м
l = 1 м
V = 2.45 м/с

Рис. 7.2


Рассмотрим механическую энергию шайбы в начальный момент (1) и в конце спуска (2):

     E1 = img418 + U1 = U1 = mgh;

     E2 = img419 + U2 = img420 = img421;

Нулевой уровень потенциальной энергии выбран на основании наклонной плоскости.

Изменение механической энергии равно работе неконсервативных сил img422 = E2 – E1. В данном случае это сила трения F = mN = mmgCosa.

Работа силы трения при соскальзывании шайбы отрицательна:

img423 = –Fтр × l = –mmgCosa × l.

Теперь соберём все эти данные:

–mmgCosa × l = E2 – E1 = img424mgh.

Откуда:

img425.

Здесь мы очень кстати вспомнили, что Cosa = img426.

Подставив числовые значения, получим: m = 0.22.

Результат, как и следовало ожидать, безразмерный:

img427.

  1. Силы и потенциальная энергия

Эту лекцию мы начали с вычисления потенциальной энергии упруго деформированной пружины. Зная характер силы, возникающей при деформации пружины — закон Гука — мы смогли вычислить её энергию.

До этого мы определили потенциальную энергию тела в однородном поле силы тяжести — энергию гравитационного взаимодействия двух частиц. Зная силу электростатического взаимодействия точечных зарядов, можно вычислить и их потенциальную энергию. Теперь зададимся обратной задачей: как определить величину и направление консервативной силы, если известна потенциальная энергия частицы U(x,y,z)?

Рассмотрим перемещение img428 частицы в поле консервативной силы img429. При таком перемещении будет совершена работа, равная изменению потенциальной энергии частицы с отрицательным знаком:

                         img430.                  (7.2)

Учитывая, что img431 = img432 + img433 + img434 и img435 = img436 + img437 + img438, запишем скалярное произведение img439 в следующем виде:

                    img440 = Fxdx + Fydy + Fzdz = –dU.           (7.3)

Теперь представим, что перемещение осуществляется только вдоль направления х. При этом координаты y и z удерживаются неизменными. Тогда dy = dz = 0, а уравнение (7.3) примет вид:

Fxx = –¶U.

Откуда x-компонента искомой силы равна:

                              img441.                  (7.4)

Здесь img442— частная производная потенциальной энергии по координате x в предположении, что y и z постоянны. Формально частная производная определяется так:

img443.

Для y- и z-компонент консервативной силы можно записать выражения, подобные (7.4):

                         img444, img445.               (7.5)

Объединив формулы (7.4) и (7.5), получим вектор искомой силы:

               img446.        (7.6)

В этом уравнении заключено правило, следуя которому можно преобразовать скалярную функцию U в векторную — img447. Вот это правило:

                    img448.                  (7.7)

Оно означает, что следует взять частные производные потенциальной энергии по координатам. Придать этим величинам соответствующие направления, домножив их на единичные векторы, и полученные векторы — компоненты силы — векторно сложить.

Это правило — векторный оператор — называется «градиент» или «набла» и обозначается:

img449.

Таким образом, консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии с противоположным знаком:

                    img450.        (7.8)

Продолжим рассмотрение движения частицы в потенциальном поле. Потенциальным называется поле консервативных сил.

Если в системе отсутствуют неконсервативные силы, то механическая энергия системы, равная сумме её кинетической и потенциальной энергий, не меняется:

E = Eк + U = сonst.

Так как кинетическая энергия не бывает отрицательной, то U £ E.

Остановимся, ради простоты, на одномерном движении частицы вдоль оси x. Пусть её полная механическая энергия E = U + Eкин равна E1 = сonst., а зависимость потенциальной энергии представлена графически U = U(x) (рис. 7.3).

График энергии E1 = сonst. выделяет несколько областей на оси x. В области 1 от х = 0 до хА частица не может появиться, так как здесь её потенциальная энергия U оказалась бы больше полной энергии E1. По этой же причине частице недоступна и область 3.

Частица может двигаться в области 2 между точками с координатами хА и хВ и в области 4: от точки с координатой хС до х ® ¥.

img451

Рис. 7.3

Движение в области 2 — это ограниченное движение в потенциальной яме. Такое движение называется финитным. В положениях хА и хВ потенциальная энергия частицы равна её механической энергии (UA = UB = E1), то есть в этих положениях кинетическая энергия и скорость частицы равны нулю.

В точке D потенциальная энергия частицы минимальна, а кинетическая энергия img452 = (Е1UD) достигает максимального значения. В этой точке и скорость частицы максимальна.

Если после точки С (х > хС) потенциальная энергия U повсюду меньше механической энергии частицы Е1, то в этой области движение частицы неограниченно. Такое движение называется инфинитным.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.04 секунд 4,204,233 уникальных посетителей