December 03 2016 02:23:50
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Лучший мотоблок Садко sevat.com.ua тут.
Работа и кинетическая энергия
Физические основы механики

План лекции

  1. Работа и кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии. Теорема Кёнига.

  2. Консервативные и неконсервативные силы.

  3. Потенциальная энергия.


  1. Работа и кинетическая энергия

По определению, элементарной работой силы img308 на бесконечно малом перемещении img309 называется скалярное произведение этих двух векторов (рис. 6.1):

               img310.                  (6.1)

α — угол между векторами img311 и img312, FS = F × Cosα — проекция силы img313 на направление перемещения img314.

Рис. 6.1

Работа силы — скалярная величина, которая может быть как положительной, так и отрицательной.

Формально знак работы определяется знаком косинуса. Если img315 — Cosα > 0 и работа силы положительна. Сила, направленная в сторону противоположную смещению, совершает отрицательную работу. Если вектор силы образует с вектором перемещения или скорости прямой угол, то работа такой силы равна нулю. Так, работу не производит центростремительная сила при движении по круговой орбите, сила тяжести и сила реакции опоры при перемещении тела по горизонтальной поверхности.

Для того чтобы вычислить работу на конечном участке траектории, нужно рассмотреть криволинейный интеграл вектора img316 вдоль этого участка траектории:

                         img317.                  (6.2)

Если в процессе движения на тело действует система сил img318, img319, …, img320, то работа их равнодействующей равна алгебраической сумме работ каждой силы в отдельности. Показать это несложно. Спроецируем векторное уравнение img321 = img322 + img323 + … + img324 на направление элементарного перемещения img325:

FS = F1S + F2S + … + FnS.

Теперь, умножив это уравнение на dS, получим искомый результат:

FSdS = F1SdS + F2SdS + … + FnSdS,

то есть:

img326.

Элементарная работа равнодействующей нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Это утверждение справедливо и для работ на конечном участке траектории:

img327.

В системе СИ работа измеряется в джоулях:

1 Дж = 1 Н × 1 м.

Работа, выполняемая в единицу времени, называется мощностью:

img328.

Мощность — важная характеристика любого механизма. Единицей мощности является 1 Ватт. Это мощность устройства, которое ежесекундно совершает работу 1 Дж:

1 Вт = img329.

Теперь обратимся к теореме о кинетической энергии. Работа силы при перемещении материальной точки равна изменению кинетической энергии этой точки. Докажем это положение.

Материальная точка массы m движется под действием силы img330. Вычислим работу силы на участке 1-2 траектории.

                         img331.             (6.3)

Здесь мы воспользовались определением вектора силыimg332 и кинематическим уравнением движения img333.

Будем считать, что масса частицы в процессе движения не меняется, тогда:

img334.

Воспользуемся этим результатом в уравнении (6.3):

                    img335.             (6.4)

Теперь проделаем следующее очевидное преобразование: так как V2 = img336, то 2VdV = img337 или img338 = VdV.

Используя это равенство в уравнении (6.4), получим окончательный результат:

               img339.             (6.5)

Величина img340 = Ек называется кинетической энергией материальной точки.

Уравнение (6.5) является математической записью теоремы о кинетической энергии: работа силы, действующей на материальную точку, равна изменению её кинетической энергии.

Важность и смысл введения понятия «работа силы» объясняется именно тем, что работа связана с изменением кинетической энергии тела:

          img341.                  (6.6)

Кинетическая энергия системы тел принимается равной сумме кинетических энергий всех элементов системы.

Теорема о кинетической энергии остаётся справедливой и для случая системы тел: работа всех сил, действующих на систему материальных тел, равна изменению кинетической энергии этой системы.

Здесь важно подчеркнуть, что речь идёт о работе не только внешних сил, но и внутренних, то есть сил взаимодействия элементов системы друг с другом.

Теорема Кёнига: скорость частицы и её кинетическая энергия зависят от системы отсчёта, в которой рассматривается движение частицы.

В теореме Кёнига устанавливается правило преобразования кинетической энергии при переходе из одной системы отсчёта в другую.

Рассмотрим сначала одну частицу. Пусть её кинетическая энергия в системе отсчёта S равна Ек. Какова будет её энергия img342 в системе отсчёта S’, движущейся со скоростью img343 относительно S? Скорости частицы в этих двух системах связаны известным соотношением (смотри преобразования Галилея):

img344.

Возведём это равенство в квадрат

img345

и домножим на img346

img347.

Таким образом, устанавливается связь кинетических энергий частицы в разных системах отсчёта:

                    img348.                  (6.7)

Обобщим этот результат на произвольную систему n материальных точек.

Для каждой частицы системы можно записать уравнение (6.7). Теперь сложим все эти уравнения:

               img349.             (6.8)

Здесь:    img350 = К — кинетическая энергия системы материальных точек в системе отсчёта S.

     img351 = img352 — кинетическая энергия той же системы в системе отсчёта S’.

     img353 = img354 = img355, где М = img356 — масса системы.

     img357 = img358 = img359 = img360,

где img361 — скорость центра масс системы материальных точек в системе отсчёта S’.

Таким образом, уравнению (6.8) можно придать такой вид:

                    К=img362 + img363 + img364.                  (6.9)

Если движущуюся систему отсчёта S’ связать с центром масс, то в такой системе img365 = 0. Формула теоремы Кёнига в этом случае упрощается:

                         img366                   (6.10)

Подводя итог, сформулируем теорему Кёнига. Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.04 секунд 4,189,934 уникальных посетителей