December 03 2016 15:39:55
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Применение теоремы Гаусса для расчёта электрических полей
Электродинамика
  • Поле бесконечной заряженной нити

  • Рассмотрим поле, созданное зарядом, равномерно распределенным по бесконечной нити. Эту задачу мы решили на прошлой лекции, воспользовавшись принципом суперпозиции электрических полей (см. 1.11).

    Теперь покажем, несколько проще можно рассчитать это поле с помощью теоремы Гаусса.

    Определим напряжённость поля на расстоянии r от нити, заряженной с постоянной линейной плотностью img0072:

    img0073, [Кл/м]                     (2.10)

    Окружим нить замкнутой цилиндрической поверхностью (рис. 2.7.). Высота цилиндра — h, а радиус его основания — r.

    img0074

    Рис. 2.7.

    Поле, созданное заряженной нитью, обладает цилиндрической симметрией. В связи с этим векторы напряжённости во всех точках боковой поверхности цилиндра будут одинаковы по модулю и направлены радиально, то есть перпендикулярно к боковой поверхности цилиндра. На основаниях цилиндра векторы img0075, направленные по-прежнему радиально, «скользят» по основанию, образуя прямой угол с нормалью img0076.

    Вычислим поток вектора img0077 через поверхность выбранного цилиндра. Полный поток через эту замкнутую «гауссову» поверхность складывается из потока через боковую поверхность цилиндра и через два его основания:

    img0078

    Последние два интеграла равны нулю, так как «скользящие» по основаниям цилиндра векторы img0079 не пронизывают их и не создают никакого потока. Формально эти два интеграла равны нулю, так как между векторами img0080 и img0081 прямой угол и img0082. Таким образом

    img0083

    Во всех точках боковой поверхности цилиндра E =Еr = const и img0084.

    Поэтому поток через боковую поверхность цилиндра равен

    img0085                   (2.11)

    Это поток вектора напряжённости электрического поля, вычисленный по определению потока.

    Теперь воспользуемся теоремой Гаусса, отметив предварительно, что «заряд, заключённый внутри гауссовой поверхности» в данном случае сосредоточен на отрезке нити h — на оси цилиндра:

    img0086

    Таким образом

    img0087                   (2.12)

    Отсюда теперь легко получить знакомую нам гиперболическую зависимость напряжённости поля от расстояния до нити — r (см. 1.11).

    img0088                        (2.13)

    1. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости. Поле плоского конденсатора

    Пусть электрическое поле создаётся зарядом, равномерно распределённым по поверхности безграничной плоскости, с поверхностной плотностью s (рис. 2.8.)

    img0089

    img0090

    Рис. 2.8.

    Из симметрии задачи следует, что поле повсюду направлено перпендикулярно к поверхности. Выясним, как меняется напряжённость поля по мере удаления от заряженной плоскости.

    В качестве гауссовой поверхности удобно выбрать цилиндр. Ось цилиндра направим перпендикулярно плоскости, его основание расположим на расстоянии Х симметрично по обе стороны от поверхности.

    Вычислим поток вектора напряжённости через боковую поверхность и основания цилиндра. Как следует из рис. 2.8., поток вектора напряжённости img0091 через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как здесь повсюду векторы напряжённости «скользят» по поверхности и img0092.

    Тогда полный поток через замкнутую цилиндрическую поверхность можно записать как поток через два основания цилиндра.

    img0093         (2.14)

    Это величина, рассчитанная по определению потока.

    Теперь воспользуемся теоремой Гаусса, заметив, что заряд q, «находящийся внутри гауссовой поверхности», в данном случае сосредоточен на площадке S = Sосн, «вырезанной» цилиндром на бесконечной плоскости

    img0094                   (2.15)

    Объединим результаты(2.15) и (2.14) в уравнение Гаусса:

    img0095

    Откуда следует

    img0096                        (2.16)

    Вывод. Поле, созданное бесконечной равномерно заряженной плоскостью, однородно. Оно не меняется с расстоянием от заряженной поверхности ни по величине, ни по направлению.

    Теперь рассмотрим еще один важный пример. Пусть поле создаётся двумя бесконечными плоскостями, заряженными разноименно, но с одинаковой по величине поверхностной плотностью заряда (рис. 2.9.). Это важная идеализация электростатики — плоский конденсатор. Каждая обкладка этого конденсатора создаёт однородное поле, напряжённость которого мы только что установили (2.16):

    img0097.

    img0098

    Рис. 2.9.

    Силовые линии поля положительно заряженной плоскости направлены от неё, а отрицательной — к плоскости. При сложении этих полей, напряжённость результирующего поля вне конденсатора оказывается равной нулю, а внутри конденсатора, где эти поля совпадают по направлению, — поле удваивается:

    img0099.        (2.17)

    Комментарии
    #1 | d1g January 16 2015 13:40:36
    А почему некоторые уравнения закрашены?
    Добавить комментарий
    Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
    Рейтинги
    Рейтинг доступен только для пользователей.

    Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

    Отлично! Отлично! 0% [Нет голосов]
    Очень хорошо Очень хорошо 0% [Нет голосов]
    Хорошо Хорошо 0% [Нет голосов]
    Удовлетворительно Удовлетворительно 100% [1 Голос]
    Плохо Плохо 0% [Нет голосов]

    Время загрузки: 0.06 секунд 4,191,155 уникальных посетителей