December 10 2016 05:00:11
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Поток вектора напряжённости электрического поля
Электродинамика

План лекции

  1. Поток вектора напряженности электрического поля.

  2. Теорема Гаусса для электрического поля.

  3. Применение теоремы Гаусса для расчёта электрических полей.

  4. Поле бесконечной заряженной нити.

  5. Поле бесконечной заряженной плоскости. Поле плоского конденсатора.

  6. Поле сферического конденсатора.


Первую лекцию мы закончили расчётом напряжённости полей электрического диполя и бесконечно заряженной нити. В обоих случаях использовался принцип суперпозиции электрических полей. Теперь обратимся ещё к одному методу вычисления напряжённости, основанному на теореме Гаусса для электрического поля. В этой теореме речь идёт о потоке вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность. Поэтому прежде чем преступить к формулировке и доказательству теоремы, обсудим понятие «поток вектора».

  1. Поток вектора напряжённости электрического поля

Выделим в однородном электрическом поле плоскую поверхность img0036 (рис. 2.1.). Эта поверхность — вектор, численно равный площади поверхности DS и направленный перпендикулярно поверхности

img0037                        (2.1)

img0038

Рис. 2.1.

Но единичный нормальный вектор img0039 может быть направлен как в одну, так и в другую сторону от поверхности (рис. 2.2.). Произвольно выберем положительное направление нормали так, как это показано на рис. 2.1. По определению потоком вектора напряжённости электрического поля img0040 через выделенную поверхность img0041 называется скалярное произведение этих двух векторов:

img0042                   (2.2)

img0043

Рис. 2.2.

Если поле в общем случае неоднородно, а поверхность S, через которую следует вычислить поток, не плоская, то эту поверхность делят на элементарные участки img0044, в пределах которых напряжённость можно считать неизменённой, а сами участки — плоскими (рис. 2.3.) Поток вектора напряжённости через такой элементарный участок img0045 вычисляется по определению потока

img0046                   (2.3)

Здесь En = E ∙ cosa — проекция вектора напряжённости на направление нормали img0047. Полный поток через всю поверхность S найдём, проинтегрировав (2.3) по всей поверхности

img0048                        (2.4)

img0049

Рис. 2.3.

Теперь представим себе замкнутую поверхность в электрическом поле. Для отыскания потока вектора напряжённости через подобную поверхность проделаем следующие операции (рис. 2.4.):

  1. Разделим поверхность на участки img0050. Важно отметить при этом, что в случае замкнутой поверхности положительной считается только «внешняя» нормаль img0051.

  2. Вычислим поток на каждом элементарном участке img0052:

img0053

Обратите внимание на  то, что вектор img0054 «вытекающий» из замкнутой поверхности создаёт положительный поток, а «втекающий» — отрицательный.

  1. Для вычисления полного потока вектора напряжённости через всю замкнутую поверхность, все эти потоки нужно алгебраически сложить, то есть уравнение (2.3) проинтегрировать по замкнутой поверхности S

img0055              (2.5)

Кружок на знаке интеграл img0056 означает, что интегрирование производится по замкнутой поверхности.

img0057

Рис. 2.4.

Напомним, что при графическом изображении полей, густота силовых линий в произвольной точке поля числено равна значению напряжённости поля в этой точке. Это означает, что

img0058.

Тогда число силовых линий, пронизывающих поверхность dS, можно записать так

dN = EndS = EdS ∙ cosa

Но ведь это определение потока вектора напряжённости через поверхность dS.

Таким образом, поток вектора напряжённости через поверхность dS численно равен числу силовых линий, пронизывающих эту поверхность (!).

Этот вывод справедлив и для потока электрического поля через замкнутую поверхность: этот поток будет равен алгебраической сумме силовых линий втекающих (–) и вытекающих (+) из замкнутой поверхности.

Теперь обратимся к теореме Гаусса.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.05 секунд 4,204,170 уникальных посетителей