December 10 2016 12:43:52
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Потенциальность электростатического поля
Основы электростатики

Потенциальность электростатического поля

  1. Циркуляция векторного поля вдоль кривой.

  2. Теорема о циркуляции вектора напряжённости электростатического поля.

  3. Работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда.

  4. Потенциал электростатического поля.

  5. Потенциал точечного заряда в вакууме.

  6. Принцип суперпозиции для потенциалов.

  7. Определение вектора напряжённости электрического поля по заданному потенциалу.

  8. Энергия взаимодействия точечных зарядов в вакууме.

  9. Теорема Ирншоу.


Как уже отмечалось, для характеристики пространственной структуры векторного поля img185 используются специальные интегральные операции. Известная теорема Гаусса формулируется на основе одной из таких интегральных операции – потока векторного поля через замкнутую поверхность.

Другой интегральной операцией является циркуляция векторного поля img186 вдоль кривой img187:

img188.               (3.1)

Здесь img189 - единичный вектор касательной к бесконечно малому элементу кривой img190, имеющему длину img191, img192 - радиус-вектор точек кривой (рис. 3.1).

Понятие циркуляции векторного поля введено Г. Гельмгольцем около 1858 г., а сам термин принадлежит У. Томсону. Математика – язык физики, в создании которого активно участвовали и сами физики.

Циркуляция img193 определена с точностью до знака, зависящего от направления обхода кривой, которое задаётся с помощью единичного вектора касательной img194. Отметим, что справедливы следующие соотношения (см. рис. 3.1):

img195.

                                                            img196

                          img197                                                2

                              img198                             

                      img199

                        img200

                     1

                          O

Рис. 3.1

Для характеристики пространственной структуры векторного поля используется его циркуляция вдоль замкнутой кривой - контура

img201.                                                                     (3.2)

Пусть в вакууме имеется неподвижный точечный заряд img202, создающий электрическое поле с вектором напряжённости электрического поля

img203,                                                                         (3.3)

где img204 - радиус-вектор точки наблюдения, проведённый от заряда.

Вычислим циркуляцию векторного поля img205 вдоль произвольного контура img206

img207,   (3.4)

поскольку при полном обходе контура точки 1 и 2 совпадают. При вычислении интеграла в (3.4) использовались равенства

img208.                                                       (3.5)

С помощью принципа суперпозиции для электрического поля полученный результат (3.4) можно обобщить на произвольную систему неподвижных точечных зарядов или на любое неподвижное непрерывное распределение заряда в пространстве. Таким образом, можно сделать вывод о том, что циркуляция вектора напряжённости произвольного электростатического поля вдоль любого контура всегда равна нулю

img209.                                                                             (3.5)

Данное утверждение называется теоремой о циркуляции вектора напряжённости электростатического поля в вакууме. Из этой теоремы следует, что силовые линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. Они всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах или уходят на бесконечность в случае уединённого заряда.

Отметим, что в приведённой выше формулировке теорема о циркуляции вектора img210 не является релятивистски-инвариантной. В дальнейшем эта теорема будет обобщена таким образом, что станет релятивистски-инвариантной и справедливой в любой ИСО.

Работа, совершаемая силой электростатического поля

img211,                                                                                     (3.6)

при перемещении точечного заряда img212 вдоль кривой img213, запишется в виде

img214.                                                    (3.7)

Согласно теореме о циркуляции вектора img215 работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда по любому контуру всегда равна нулю. Таким образом, сила (3.6) является консервативной, а векторное поле img216 - потенциальным, Отметим также, что работа консервативной силы не зависит от выбора пути перемещения из начальной точки в конечную.

Для потенциального векторного поля всегда можно вывести скалярную функцию координат img217, называемую потенциалом. В случае электростатического поля разность потенциалов img218 в двух любых точках 1 и 2 определяется формулой

img219                        (3.8)

или

img220.                                                                       (3.9)

При заданном векторном поле img221 потенциал img222 как функция координат определяется следующим образом.

  1. В некоторой точке 1 произвольно определяется величина потенциала img223.

  2. Потенциал 2 находится с помощью формулы (3.8) при img224

img225.                                              (3.10)

Отсюда следует, что потенциал произвольной точки задается с точностью до постоянной img226, которая определяется нашим произволом. Однако разность потенциалов в двух точках для заданного векторного поля img227 не зависит от нашего произвола и определяет работу сил электростатического поля при перемещении единичного положительного заряда.

Вычислим потенциал точечного заряда img228 в вакууме. Согласно определению (3.10) и (3.3)

img229.                    (3.11)

Положим в бесконечно удалённой точке, где img230, потенциал img231. Тогда из (3.11) следует, что

img232

или

img233,                                                                          (3.12)

где img234 - расстояние от точечного заряда img235 до точки наблюдения.

Для точечного заряда поверхности одинакового потенциала img236, называемые эквипотенциальными, есть концентрические сферы img237 с центрами в точке нахождения заряда img238. Отметим, что силовые линии электростатического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.06 секунд 4,205,012 уникальных посетителей