Дискретность изменения числа энергетических уровней, полностью занятых электронов, обуславливает дискретность изменения холловского сопротивления R_н с ростом магнитной индукции В. Скачки сопротивления наблюдаются при тех значениях В, когда меняется число полностью заполненных энергетических уровней. В классическом эффекте Холла, открытом в 1879г., наблюдается возникновение поперечной разности потенциалов при действии магнитного поля на постоянный электрический ток в проводнике.

                             z

                               y

                                                 ℓ

                                                x

                                I

                                           d

Поперечная (холловская) разность потенциалов U_H возникает вдоль оси у в результате действия силы Лоренца

,                                                                            (IV.14.25)

где q – заряд носителя тока, – скорость дрейфа (направленного движения) носителей тока под действием электрического поля , m – масса носителя тока, τ – время релаксации импульса носителей тока, и описывается формулой

,                                                                                                           (IV.14.26)

здесь

                                                                                                                (IV.14.27)

– постоянная Холла, n – концентрация носителей тока.

Холловское сопротивление определяется выражением

                                                                             (IV.14.28)

и линейно растет с увеличением магнитной индукции. В 1980г. появилось сообщение К. фон Клитцинга о том, что в области низких температур (Т ≤ 4К) и сильном внешнем магнитном поле (В ~ 10Тл) зависимость холловского сопротивления r_Н двумерной электронной системы от величины магнитной индукции имеет ступенчатый характер.

                    r_H

                  h/e²

                       h/2e²

                       h/3e²

                                                  B

Величина «ступенек» для холловского сопротивления

,                                                                                                           (IV.14.29)

где i(В) = 1,2,3,… принимает дискретные целочисленные значения при определенных величинах магнитной индукции. Иными словами, холловское сопротивление двумерной электронной системы в сильном магнитном поле () при достаточно низкой температуре() всегда проквантовано. Этот эффект получил название целочисленного квантового эффекта Холла (ЦКЭХ). За открытие ЦКЭХ в 1985г. К. фон Клитцингу присуждена Нобелевская премия по физике.

Высота ступеньки сопротивления Δr_Н зависит исключительно от фундаментальных физических постоянных, что обуславливает прямое применение ЦКЭХ в метрологии. Эта высота может быть принята в качестве абсолютного стандарта сопротивления, если в трех независимых лабораториях измерят одинаковое значение Δr_Н с погрешностью <2·10^-5%. Уже в 1998 году была достигнута точность ~10^-6%. Новая единица сопротивления получила название клитцинг

                                                                    (IV.14.30)

Через два года после открытия ЦКЭХ Д. Цуи, Л. Штермер и А. Госсард, измеряя при температуре Т < 0,1К и магнитном поле В ≥ 30Тл холловское сопротивление селективно легированных гетерепереходов, обнаружили дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ), когда в формуле (IV.14.29) величина i принимает дробные значения

,                                                                                                                                                   (IV.14.31)

где q и p – целые числа. Дробность появляется как точное квантовое число, а не результат усреднения и может быть объяснена только при учете кулоновского взаимодействия электронов в основном состоянии.

Возбужденные состояния описываются с помощью квазичастиц, имеющих дробный электрический заряд

,                                                                                                               (IV.14.32)

где е – заряд электрона. Эти квазичастицы характеризуются также магнитным потоком

,                                                                            (IV.14.33)

связанным с каждой квазичастицей. Свойства симметрии волновой функции, описывающей систему таких квазичастиц, являются весьма сложными. При размерности пространства, равной двум, тождественные квазичастицы могут подчиняться аномальной (ТЭТА) статистике, промежуточной между статистикой бозонов и фермионов. Электрон + четное число квантов магнитного потока образуют композитный фермион, а электрон + нечетное число квантов магнитного поля – композитный бозон. Образно говорят, что магнитное поле, пронизывающее двумерное море взаимодействующих электронов, создает квантовомеханический танец всей системы, который описывается волновой функцией с большим числом подгоночных параметров.