December 03 2016 02:25:05
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Нормальное и тангенциальное ускорение и Радиус кривизны траектории
Физические основы механики

Движение по криволинейной траектории всегда происходит с переменной скоростью. Пусть img064— скорость частицы в момент времени t, а img065 — скорость частицы Dt секунд спустя.

Отношение вектора изменения скорости img066 к промежутку времени, за который это изменение произошло, определяет вектор среднего ускорения движения

img067                   (2.11)

img068.

Вектор среднего ускорения всегда направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 2.11)

Рис. 2.11

Предел среднего ускорения при Dt ® 0 называется вектором мгновенного ускорения частицы в момент времени t.

img069.                  (2.12)

Скорость можно представить векторной суммой её составляющих (см. (2.10))

img070.

Тогда вектор ускорения можно записать так:

img071.        (2.13)

Здесь img072, img073, img074.

Модуль вектора ускорения

img075.

Часто проецируют вектор ускорения не на оси неподвижной системы координат, а на направления касательное (t) и нормальное img076 к траектории (рис. 2.12):

img077.                  (2.14)

Здесь аt и аn — проекции вектора ускорения, img078 и img079 — единичные векторы тангенциального (касательного) и нормального направлений.

Рис. 2.12

Смысл такого представления ускорения (2.14) в том, что тангенциальное ускорение аt определяет изменение вектора скорости только по величине, а нормальная составляющая аn связана с изменением вектора скорости только по направлению. Покажем, что это именно так.

Пусть за время dt скорость частицы изменилась на img080 от img081 до img082.

img083                   (2.15)

Представим сначала, что нормальное ускорение отсутствует img084. Тогда изменение скорости связано только с тангенциальным ускорением:

img085.

Полученный результат означает, что изменение скорости img086 совпадает по направлению с самой скоростью img087!

Таким образом, скорость, сохраняя свое направление, будет меняться только по величине

img088

или

img089                        (2.16)

Касательная составляющая ускорения равна производной модуля скорости по времени.

Теперь пусть отсутствует касательное ускорение img090. В этом случае:

img091

Новое значение скорости равно:

img092

Возведем эту скорость в квадрат

img093

В правой части этого уравнения вторым слагаемым можно пренебречь по сравнению с V2(t), а в третьем слагаемом скалярное произведение взаимно-перпендикулярных векторов равно нулю. Таким образом, за время dt скорость частицы не изменилась по величине

img094!

Это означает, что нормальная составляющая ускорения img095 определяет изменение вектора скорости только по направлению. Известно, что численно нормальное (центростремительное) ускорение равно отношению квадрата линейной скорости к радиусу кривизны траектории R:

img096.                       (2.17)

Чтобы пояснить этот параметр R, рассмотрим небольшой фрагмент плоской криволинейной траектории. В близких точках М и М’ проведём касательные к траектории t и t’, а к ним восстановим перпендикуляры N и N’ (рис. 2.13). Они пересекаются в точке C’.

Рис. 2.13

Начнем приближать точку М’ к М. При этом угол между нормалями q и дуга img097 устремляются в пределе к нулю. По определению радиусом кривизны плоской линии называется следующий предел

img098                        (2.18)

В процессе этой операции точка C’ сместится в новое положение — точку С — центр кривизны.

Теперь обратимся к рассмотрению важного частного случая криволинейного движения.

  1. Движение материальной точки по окружности

Положение частицы М, движущейся по окружности радиуса R, можно задать в любой момент времени углом поворота её радиус-вектора j = j(t) (рис. 2.14). Угол j отсчитывается от наперёд выбранного неизменного направления ОМ0.

Пусть в момент времени t и (t + Dt) положение частицы на круговой траектории определяется углами j1 и j2. Отношение угла поворота радиус-вектора частицы Dj = j2 — j1 ко времени Dt, за которое произошёл этот поворот, называется средней угловой скоростью движения:

                         img099.                  (2.19)

Рис. 2.14

При малом угле поворота (Dj « 2p), вводится понятие вектора угла поворота img100. Этот вектор направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого винта.

Угловая скорость img101 — тоже вектор, совпадающий по направлению с вектором угла поворота img102.

Предел средней угловой скорости при Dt ® 0 — это мгновенная угловая скорость:

                    img103.        (2.20)

Мгновенная угловая скорость равна первой производной угла поворота радиус-вектора частицы по времени img104.

Если за промежуток времени от t до (t + Dt) угловая скорость изменилась от w до (w + Dw), то это означает, что движение происходило со средним угловым ускорением:

                         img105                        (2.21)

Это тоже векторная величина. Вектор ускорения img106 также как и векторы img107 и img108, направлен по оси вращения.

По определению, мгновенное угловое ускорение равно первой производной вектора угловой скорости или второй производной угла поворота по времени:

                    img109                   (2.22)

Ясно, что круговое движение материальной точки может характеризоваться и линейной скоростью. Между линейной img110 и угловой img111 скоростями должна существовать связь, поскольку речь идёт о двух подходах к описанию одного и того же движения. Найдём связь этих скоростей.

Выберем начало координат — точку отсчёта 0 — на оси вращения (рис. 2.15).

img112— радиус-вектор движущейся  точки, С — центр ее круговой траектории.

Пусть за время dt частица переместилась из точки М1 в точку М2; img113 — радиус-вектор её перемещения.

Линейная скорость частицы по определению img114.

img115

Рис. 2.15

Воспользовавшись правилом векторного произведения, представим вектор перемещения в следующем виде:

img116.

Последнее слагаемое равно нулю, так как это векторное произведение двух векторов, совпадающих по направлению.

Значит, img117, а линейную скорость тогда можно представить так:

img118,

или img119, так как img120.

В частном случае, когда начало координат — точка отсчёта 0 — находится в центре окружности — С, img121 и

                         img122.                       (2.23)

Поскольку img123, последнее выражение можно представить в скалярном виде:

                         V = wRc.                      (2.24)

Возьмём производную этой функции по времени, учтя при этом, что Rc = const.

img124.

Известно, что img125, а img126. Отсюда следует простая связь тангенциальной составляющей линейного ускорения и углового ускорения при вращении по окружности радиуса R:

                              at = Re.                 (2.25)

Лекция 3 «Динамика материальной точки»

План лекции

  1. Основная задача динамики. Законы Ньютона.

  2. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчёта. Масса. Импульс тела.

  3. Второй закон Ньютона — основной закон динамики. Сила.

  4. Третий закон Ньютона.

  5. Силы в природе.

  6. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. «Инертная» и «гравитационная» массы.

  7. Силы трения.

  8. Сухое трение.

  9. Вязкое трение.

  10. Упругие силы. Закон Гука.

  11. Пример применения законов Ньютона.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.14 секунд 4,189,952 уникальных посетителей