В квантовой механике частица задается как бесструктурный объект с априорно известными параметрами: массой, электрическим зарядом, спином, магнитным моментом и т.д. В этом смысле квантовая механика является незамкнутой теорией. Кроме того, следует иметь в виду, что наше рассмотрение ограниченно движением частицы со скоростью V << c, где с – скорость света, т.е. нерелятивистской квантовой механикой.

Среднее значение измеряемой динамической величины, описываемой оператором , для частицы в квантовом состоянии с волновой функцией определяется выражение

,                                                                                                                        (II.3.5)

где оператор действует на волновую функцию y, стоящую справа от оператора. В квантовой механике используются так называемые эрмитовые операторы, для которых справедливо равенство

                                                                                         (II.3.6)

Здесь – комплексно сопряженный оператор, получаемый путем замены в i на –i. Выполнение равенства (II.3.6) означает, что средние значения измеряемых величин являются вещественными.

Дисперсия измеряемой величины L определяется выражением

                               (II.3.7)

где – последовательное двукратное действие оператора на волновую функцию , является неотрицательной величиной и задает среднеквадратичное отклонение измеренной величины от ее среднего значения

                                                                                                                         (II.3.8)

Необходимо подчеркнуть, что данное среднеквадратичное отклонение не связано с погрешностью измерительного прибора, а обусловлено квантовым характером движения частицы и особенностями ее взаимодействия с измерительным прибором.

Если частица находится в состоянии, которое описывается собственной функцией оператора , когда по определению

                                                                                                                         (II.3.9)

то измерения всегда дают одно и то же значение величины L, равное соответствующему собственному значению оператора,

.                                              (II.3.10)

Здесь – полная ортонормированная система функций. Таким образом, дисперсия измеряемой величины в этом случае равна 0 (для идеального измерительного прибора).

Пример. Рассмотрим собственные функции оператора х-ой компоненты импульса частицы:

где с – постоянная.

Волновая функция частицы в нерелятивистском случае находится с помощью уравнения Шредингера

                                                                                                                            (II.3.11)

где – гамильтониан (оператор полной энергии) частицы. Это линейное уравнение первого порядка по времени и второго порядка по координатам. Для нахождения единственного решения необходимо задать начальное условие в некоторый момент времени (обычно t=0)

                                                                                               (II.3.12)

а также граничные условия на некоторой замкнутой поверхности (или задать асимптотическое поведение волновой функции при ).

При заданном гамильтониане задача (II.3.11)-(II.3.12) имеет единственное решение, что по существу определяет принцип причинности в квантовой механике, который теперь формулируется для комплексной амплитуды вероятности .

Из линейности уравнения Шредингера следует принцип суперпозиции для волновых функций: если Y₁ и Y₂ есть решения уравнения (II.3.11), то функция

                                                                                                                       (II.3.13)

где с₁ и с₂ – произвольные комплексные постоянные, также является решением уравнения (II.3.11) и описывает некоторое возможное состояние частицы. Иными словами, частица может одновременно находится в двух разных состояниях, что в принципе невозможно согласно законам классической механике.