December 03 2016 02:26:47
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Момент инерции тела и Теорема Гюйгенса-Штейнера
Физические основы механики

Момент инерции тела аддитивная величина, равная сумме моментов инерции всех частиц тела:

img545.

Здесь mi — масса i-той частицы, которую можно связать с плотностью вещества ri и объёмом частицы:

mi = riDVi.

Тогда img546.

Если тело однородно, то есть его плотность повсюду одинакова, то r можно вынести за знак суммы:

img547.

Разделяя тело на всё более мелкие частицы, сведём задачу отыскания момента инерции к вычислению интеграла:

img548.

Интегрирование проводится по всему объёму тела V.

В качестве примера вычислим момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси z, проходящей через его центр масс — точку С (рис. 9.3). Длина стержня — l, его масса — M.

На расстоянии x от оси вращения выделим элемент dx, масса которого dm = img549.

Рис. 9.3

Момент инерции этой частицы стержня равен:

img550.

Вычислив подобным образом, моменты инерции всех элементов стержня, сложим их, взяв интеграл:

img551.

Таким образом:

                         Iz = img552.                       (9.7)

Интегрирование проведено по x в пределах от img553 до img554.

Как изменится момент инерции этого стержня, если ось вращения перенести в другое место? Провести её, например, через край стержня?

В этом случае прежний интеграл нужно рассмотреть в пределах от 0 до l:

               img555.                  (9.8)

Новое значение момента инерции того же стержня заметно возросло. Связано это с тем, что момент инерции тела определяется не только его массой, но и её распределением относительно оси вращения.

Вычислим момент инерции ещё одного тела: сплошного цилиндра относительно его геометрической оси.

Рис. 9.4

Пусть M — масса, а R — радиус цилиндра (рис. 9.4). Выделим в этом цилиндре цилиндрический слой радиусом r и толщиной dr. Масса этого слоя:

dm = r × dV = r × 2pr × dr × l,

где: r — плотность материала цилиндра;

     l — его длина.

Все частицы этого слоя находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения — геометрической оси цилиндра, значит, момент инерции слоя равен:

dI = dm × r2 = r × 2pr × dr × l × r2.

Для отыскания момента инерции цилиндра проинтегрируем последнее выражение:

img556.

Отметим, что pR2l = V — объём цилиндра, а rpR2l = rV = M — его масса.

Тогда момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси можно окончательно записать в таком виде:

img557.

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной оси (I) равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела М на квадрат расстояния между осями:

                         I = Ic + Ma2,                      (9.9)

где а — расстояние между осями.

На рисунке 9.5 оси вращения перпендикулярны плоскости чертежа: через точку 0 проходит произвольная ось; параллельная ей ось проведена через центр масс тела — точку С. Расстояние между осями — а.

Выделим элемент тела массой Dmi. Его момент инерции относительно оси 0 равен:

                         img558.                       (9.10)

Как следует из рисунка img559, откуда:

                         img560.                  (9.11)

Рис. 9.5

Теперь момент инерции частицы Dmi (9.10) можно представить такой суммой:

img561.

Для отыскания момента инерции всего тела, нужно сложить моменты инерции всех его частиц:

               img562.        (9.12)

Здесь за знак суммы вынесена постоянная величина — расстояние между осями а. Первое слагаемое справа img563 = Ма2, так как img564 = М — масса тела. Второе слагаемое img565 = IС — момент инерции тела, относительно оси, проходящей через центр масс. Третье слагаемое равно нулю, так как сумма img566 равна произведению массы тела на вектор img567, проведённый от оси С к центру масс тела. Но ось С проходит через центр масс, поэтому img568 = 0 и img569 = Мimg570 = 0.

Собрав эти результаты в уравнение (9.12), получим выражение теоремы Гюйгенса-Штейнера:

IO = IC + Ma2.

Эта теорема значительно упрощает задачу вычисления моментов инерции.

Известен, например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр масс (9.7):

img571.

Воспользовавшись теоремой Гюйгенса-Штейнера, легко вычислим момент инерции этого же стержня относительно оси z’, проходящей, например, через край стержня (рис. 9.3):

Iz = Iz + Ma2, a = l/2.

img572.

Это значение момента инерции совпадает с результатом (9.8), который был получен методом прямого интегрирования.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.05 секунд 4,189,978 уникальных посетителей