 Сначала рассмотрим самую простую модель термодинамической системы – идеальный газ. В модель идеального газа заложено два основных предположения: первое – о невзаимодействии молекул газа на расстоянии (взаимодействие осуществляется только в пренебрежимо краткое по сравнению со временем полета время соприкосновения), и второе – о возможности пренебрежения собственным объемом молекул по сравнению с полным объемом, занимаемым газом. Эта модель хорошо себя оправдывает в случае достаточно разреженных газов, когда диаметр молекул много меньше среднего расстояния между ними. Разумеется, применимость модели идеального газа не безгранична, и имеется достаточно много явлений (например, фазовые превращения – переход из одного агрегатного состояния в другое), для анализа которых даже на качественном уровне модель идеального газа непригодна и, значит, в этих случаях следует обращаться к более сложным моделям. Однако для решения поставленной задачи – обнаружения фундаментальных термодинамических соотношений (термодинамических уравнений состояния) – модель идеального газа оказалась вполне пригодной.
Уравнение состояния идеального газа нам дает объединенный газовый закон (1.2), который в расчете на один моль принимает вид
РV = RT (3.1)
В термодинамике принято все вычисления проводить в расчете на один моль вещества, что и будет подразумеваться, если специально не оговаривается другое количество вещества, поэтому число молей m/M нами всегда будет считаться равным единице.
Уравнение (1.2) для произвольного числа молекул N иногда записывают в виде
PV = NkT, (3.2)
где k – постоянная Больцмана (R =NA·k).
Это уравнение может быть получено из рассмотрения упругих ударов молекул идеального газа о стенки сосуда (газ в «ящике»). Такой способ получения уравнения является задачей статистической механики (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Уравнение (3.2) можно также переписать в виде
Р = nkT , (3.3) где n – концентрация молекул (N/V).
Уравнение состояния идеального газа хорошо иллюстрируется геометрически. Так как в уравнение входят только три переменные, то любые две из них можно выбрать в качестве переменных, откладываемых по осям прямоугольной системы координат на плоскости, и при любом фиксированном значении третьей переменной уравнение состояния даст некоторую линию на плоскости. Так, задаваясь различными значениями температуры Т1,Т2,Т3,.., получаем для идеального газа семейство кривых, различающихся значениями параметра Т и называемых изотермами. В случае идеального газа кривая, получающаяся при постоянной температуре Т = Const, представляет собой равнобочную гиперболу на плоскости (Р,V). Изменяя значение параметра Т, мы получаем семейство гипербол, называемых изотермами идеального газа.
На рисунке 1 представлено семейство изотерм, описываемых уравнением (3.1).
Р
Т3
Т2
T1
V1 V2 V
Рис.1. Изотермы идеального газа. Т3 > T2 > T1.
Воспользуемся моделью идеального газа, чтобы рассмотреть как изменяется с изменением координаты давления газа, находящегося в однородном силовом поле, считая атмосферу газа изотермической. Пусть внешнее силовое поле направлено вдоль оси z, например, сверху вниз (смотрите рис. 2), а потенциальная энергия одной молекулы в этом поле равна u. Тогда сила, действующая на одну молекулу f = -du/dz (или fdz = - du), а малое изменение давления газа dp при смещении на расстояние dz находится как отношение суммарной силы F, действующей на все молекулы внутри некоторого малого объема dV = Sdz, к площади S, то есть изменение давления газа на малом расстоянии dz равно dp = F/S = ndV·f /S = ndz·f = - ndu.
z
P(z + dz) = P + dp
dz
P(z)
S
Рис.2.
Используя уравнение состояния идеального газа (3.3) и считая температуру газа постоянной, имеем dp = dn·kT, что позволяет сразу получить соотношение dn/n = - du/kT, интегрируя которое получаем формулу Больцмана
n = no exp (- u/kT), (3.4)
показывающую распределение молекул газа в силовом поле. Здесь no - концентрация молекул на уровне нулевого значения потенциальной энергии.
Чтобы получить из уравнения (3.4) зависимость давления воздуха от высоты местности (предполагая постоянство температуры) надо вспомнить, что n = P/kT, а u = m1gh, где m1 - масса одной молекулы, g - ускорение силы тяжести, h - высота, и тогда давление P = Poexp (- m1gh/kT). Теперь, умножая числитель и знаменатель в показателе экспоненты на число Авогадро, и помня, что m1NA = M (масса моля), а kNA = R (газовая постоянная), получаем барометрическую формулу
(3.5)
Закон распределения частиц в поле силы тяжести был использован французским ученым Жаном Перреном (1909г) для наиболее точного (для своего времени) экспериментального определения числа Авогадро.
3.3. Изотермические и адиабатные процессы
идеального газа
|