Сначала рассмотрим самую простую модель термодинамической системы – идеальный газ. В модель идеального газа заложено два основных предположения: первое  –  о невзаимодействии молекул газа на расстоянии (взаимодействие  осуществляется только в пренебрежимо краткое по сравнению со временем полета время соприкосновения),  и второе – о возможности пренебрежения собственным объемом молекул по сравнению с полным объемом, занимаемым газом. Эта модель хорошо себя оправдывает в случае достаточно разреженных газов, когда диаметр молекул много меньше среднего расстояния между ними. Разумеется, применимость модели идеального газа не безгранична, и имеется достаточно много явлений (например, фазовые превращения – переход из одного агрегатного состояния в другое), для анализа которых даже на качественном уровне модель идеального газа непригодна и, значит, в этих случаях следует обращаться к более сложным моделям. Однако для решения поставленной задачи – обнаружения фундаментальных термодинамических соотношений (термодинамических уравнений состояния) – модель идеального газа  оказалась вполне пригодной.

Уравнение состояния идеального газа нам дает объединенный газовый закон (1.2), который в расчете на один моль принимает вид

                         РV = RT                                  (3.1)

В термодинамике принято все вычисления проводить в расчете на один моль вещества, что и будет подразумеваться, если специально не оговаривается другое количество вещества, поэтому число молей  m/M  нами всегда будет считаться равным единице.

Уравнение (1.2) для произвольного числа молекул N иногда записывают в виде          

     PV = NkT,                      (3.2)

где k – постоянная Больцмана (R =N_A·k).

Это уравнение может быть получено из рассмотрения упругих ударов молекул идеального газа о стенки сосуда (газ в «ящике»). Такой способ получения уравнения является задачей статистической механики (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1). Уравнение (3.2) можно также переписать в виде

                                    Р = nkT ,                       (3.3)                                                                      где n – концентрация молекул (N/V).

Уравнение состояния идеального газа хорошо иллюстрируется геометрически. Так как в уравнение входят только три переменные, то любые две из них можно выбрать в качестве переменных, откладываемых по осям прямоугольной системы координат на плоскости, и при любом фиксированном значении третьей переменной уравнение состояния даст некоторую  линию на плоскости. Так, задаваясь различными значениями температуры  Т₁,Т₂,Т₃,.., получаем для идеального газа семейство кривых, различающихся значениями параметра Т и называемых изотермами. В случае идеального газа кривая, получающаяся при постоянной температуре Т = Const, представляет собой равнобочную гиперболу на плоскости (Р,V). Изменяя значение параметра Т, мы получаем семейство гипербол, называемых изотермами идеального газа.

На рисунке 1 представлено семейство изотерм, описываемых уравнением (3.1).      

  Р

                           Т₃

                           Т₂

T₁      

            V₁      V₂                  V

    Рис.1. Изотермы идеального газа. Т₃ > T₂ > T_1.

Воспользуемся моделью идеального газа, чтобы рассмотреть как изменяется с изменением координаты давления газа, находящегося в однородном силовом поле, считая атмосферу газа изотермической.    Пусть внешнее силовое поле направлено вдоль оси z, например, сверху вниз (смотрите рис. 2), а потенциальная энергия одной молекулы в этом поле равна u.  Тогда сила, действующая на одну молекулу  f = -du/dz (или fdz = - du), а  малое изменение давления газа dp при смещении на расстояние dz находится как отношение суммарной силы F, действующей на все молекулы внутри некоторого малого объема dV = Sdz,  к площади  S, то есть изменение давления газа на малом расстоянии dz  равно dp = F/S = ndV·f /S = ndz·f = - ndu.

            z

                        P(z + dz) = P + dp

        dz

                        P(z)

                    S

                                Рис.2.

    Используя уравнение состояния идеального газа  (3.3) и считая температуру газа постоянной,  имеем  dp = dn·kT,  что позволяет сразу получить соотношение  dn/n = - du/kT,  интегрируя которое получаем формулу Больцмана    

                    n  =  n_o exp (- u/kT),                       (3.4)

показывающую распределение молекул газа в силовом поле. Здесь  n_o - концентрация молекул на уровне нулевого значения потенциальной энергии.

    Чтобы получить из уравнения (3.4) зависимость давления воздуха от высоты местности (предполагая постоянство температуры) надо вспомнить, что  n = P/kT,  а u = m₁gh,  где m₁ - масса одной молекулы,  g - ускорение силы тяжести,   h  - высота,  и  тогда   давление P = P_oexp (- m₁gh/kT). Теперь, умножая числитель и знаменатель в показателе экспоненты на число Авогадро, и помня, что m₁N_A = M (масса моля), а kN_A = R (газовая постоянная), получаем барометрическую формулу

                                                            (3.5)

    Закон распределения частиц в поле силы тяжести был использован французским ученым Жаном Перреном (1909г) для наиболее точного (для своего времени) экспериментального определения числа Авогадро.

3.3.        Изотермические и адиабатные процессы

идеального газа