December 10 2016 12:44:27
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Механика твёрдого тела
Физические основы механики

План лекции:

  1. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси.

  2. Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек.

  3. Закон сохранения момента импульса.


Прежде чем приступить к изучению движения твёрдых тел, необходимо познакомиться с рядом новых физических понятий и характеристик движения.

  1. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси

Рассмотрим движение материальной точки m под действием силы img453. Положение этой частицы будем задавать относительно начала неподвижной системы координат радиус-вектором img454 (рис. 8.1).

Рис. 8.1

По определению, моментом силы img455 относительно неподвижного центра 0 img456 называется следующее векторное произведение:

                         img457.                  (8.1)

Вектор момента силы перпендикулярен плоскости, образованной векторами img458 и img459. Направление этого вектора связано с направлениями перемножаемых векторов «правилом правого винта».

Проекция вектора момента силы на какую-либо ось называется моментом силы относительно этой оси. Рассмотрим, например, момент силы img460 относительно оси z (рис. 8.2). Разложим силу img461 на три составляющие:

img462

здесь:    img463 — составляющая, параллельная оси z;

img464 — составляющая, перпендикулярная оси z и действующая вдоль прямой, проходящей через z;

img465 — составляющая, перпендикулярная плоскости, проходящей через ось и точку приложения силы.

img466

Рис. 8.2

Момент силы img467 относительно центра 0 можно представить теперь суммой моментов её составляющих относительного того же центра. Действительно, умножим векторно предыдущее разложение на радиус-вектор img468:

img469.

В этом равенстве все слагаемые — моменты соответствующих сил:

img470.

Спроецируем это уравнение на ось Z

img471.

Первые слагаемые равны нулю, так как векторы img472 и img473 перпендикулярны оси Z, поэтому их проекции на Z равны нулю.

Таким образом, момент силы img474 относительно оси Z равен проекции на эту ось момента силы img475 относительно центра 0.

img476

Момент силы img477 относительно неподвижного центра 0:

img478

образует с осью Z угол a (см. рис. 8.2), поэтому его проекцию на эту ось следует записать так:

img479.

Здесь img480, поэтому

                    img481.             (8.2)

Здесь R=r Сosa–кратчайшее расстояние от оси вращения до точки приложения силы называется плечом силы.

Как и следовало ожидать, момент силы img482 относительно оси Z зависит от величины её составляющей Ft. Две другие составляющие — img483 и img484 — вообще не создают момента относительно оси Z.

Другой важной характеристикой вращательного движения частицы является момент импульса относительно неподвижного центра «0». Это тоже векторная величина. Она равна векторному произведению радиус-вектора частицы img485 на её импульс img486 = img487 (рис. 8.3).

                    img488.                  (8.3)

Модуль момента импульса равен:

L = r × mV × Sina = r × p × Sina,

где a — угол между векторами img489 и img490.

Рис. 8.3

Моментом импульса системы материальных точек называется векторная сумма их моментов импульса:

img491.

Проекция вектора момента импульса на некоторую ось OZ называется моментом импульса частицы (или системы) относительно этой оси:

img492.

Введение понятий «момент силы» и «момент импульса» обусловлено тем, что эти величины связаны друг с другом. В механике эта связь устанавливается «уравнением моментов».

  1. Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек

Рассмотрим систему двух взаимодействующих частиц (рис. 8.4). На этом рисунке img493 и img494 — внутренние силы взаимодействия частиц друг с другом: img495 = –img496.

Рис. 8.4

img497 и img498 — внешние силы, действующие на частицы m1 и m2, img499 и img500 — скорости частиц.

Запишем уравнения их движения (уравнения второго закона Ньютона):

img501 + img502 = img503;

img504 + img505 = img506.

Умножим векторно первое уравнение на радиус-вектор первой частицы img507, а второе — на img508.

                         img509.             (8.3)

Заметим, что img510. Действительно, img511. Первое слагаемое справа равно нулю, так как img512. Следовательно, здесь векторно умножаются совпадающие векторы. Такое произведение равняется нулю.

Перепишем уравнения системы (8.3), учтя ещё, что img513:

img514.

Сложим эти уравнения:

img515.

Векторы img516 и img517 коллинеарны (см. рис. 8.4), поэтому их векторное произведение равно нулю.

Окончательно это уравнение можно записать в таком виде:

                         img518.                  (8.4)

Здесь:    img519 — векторная сумма моментов всех внешних сил относительно центра 0;

     img520 — момент импульса силы относительно того же центра.

Это уравнение получило название уравнения моментов относительно неподвижного центра: производная по времени момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же центра.

Уравнение моментов показывает, что изменение момента импульса системы может произойти только в результате действия момента внешних сил. Если внешние силы отсутствуют или их вращающий момент равен нулю img521 = 0, то момент импульса системы остаётся неизменным во времени:

img522, то есть img523 = сonst.

Спроецировав уравнение (8.4) на произвольную ось Z, получим уравнение моментов относительно этой оси:

img524.

Производная по времени момента импульса системы относительно оси Z равна сумме моментов внешних сил относительно этой оси.

Если сумма моментов внешних сил относительно оси равна нулю, то момент импульса системы относительно этой оси будет оставаться постоянным.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.04 секунд 4,205,018 уникальных посетителей