December 03 2016 02:28:22
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Механические колебания
Физические основы механики

План лекции

1. Энергия гармонического осциллятора.

2. Собственные затухающие колебания.

3. Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний.

  1. Энергия гармонического осциллятора

Собственные незатухающие колебания возникают в системе при выполнении двух условий: во-первых, при смещении из положения равновесия должна возникать возвращающая сила, пропорциональная смещению (упругая или квазиупругая), и, во-вторых, в системе должны отсутствовать диссипативные силы.

Запустить колебание можно по-разному, но в любом случае эта операция означает сообщение системе некоторого запаса энергии. Далее в процессе колебания эта энергия будет переходить из потенциальной в кинетическую и обратно, но сумма этих энергий в любой момент времени должна быть неизменно равной начальной механической энергии.

Обратимся к конкретному осциллятору — пружинному маятнику (рис. 13.1).

Рис. 13.1

Колебание груза массой m происходит по гармоническому закону:

                        x = a Cos (wt + a).                (13.1)

Скорость груза меняется по закону синуса:

img733.                  (13.2)

Вычислим механическую энергию маятника в произвольный момент времени t:

Eмех = Ек + U.

Здесь:    img734 — кинетическая энергия груза,

U = img735 — потенциальная энергия деформированной пружины.

img736         (13.3)

img737         (13.4)

В последнем выражении мы учли, что img738, то есть img739.

Кинетическая и потенциальная энергии осциллятора меняются с частотой, вдвое превышающей частоту колебаний маятника — w0 (рис. 13.2). И та и другая составляющие механической энергии осциллируют во времени. А их сумма?

img740 (!).              (13.5)

Их сумма остается неизменной в любой момент времени. Этот результат можно было бы предсказать a priori: ведь в процессе собственных незатухающих колебаний выполняется закон сохранения механической энергии.

img741

Рис. 13.2

Легко видеть, что уравнение (13.5) выражает механическую энергию системы через максимальную кинетическую, когда потенциальная энергия равна нулю. В этот момент груз проходит с максимальной скоростью положение равновесия.

Но эту же механическую энергию можно связать и с максимальной потенциальной энергией — в точке амплитудного отклонения маятника, где v = 0 и Ек = 0.

img742.                  (13.6)

Здесь k = img743, поэтому

img744.

Максимальная потенциальная энергия (Umax) незатухающего осциллятора равна его максимальной кинетической энергии img745 и обе они равны полной механической энергии (Емех) системы, которая в процессе колебаний остается неизменной.

  1. Собственные затухающие колебания

До сих пор мы рассматривали колебательные процессы в системах, где действовала одна единственная сила — упругая или квазиупругая («как упругая»). Уравнение такого движения записывается просто:

img746.

Теперь введём в систему ещё одну силу — силу вязкого сопротивления, пропорциональную скорости движения:

img747.

Здесь r — коэффициент сопротивления. Знак минус означает, что сила сопротивления и скорость всегда направлены противоположно.

Закон движения — второй закон Ньютона — теперь примет такой вид:

img748.

В стандартном виде его записывают так:

img749.                  (13.7)

Это основное уравнение динамики гармонического осциллятора с вязким трением. Решением этого уравнения является гармоническая функция (рис. 13.3):

img750.             (13.8)

img751

Рис. 13.3

Амплитуда колебаний осциллятора с вязким сопротивлением убывает со временем по экспоненциальному закону:

img752.                       (13.9)

Здесь d = img753 — коэффициент затухания.

Частота затухающих колебаний w отличается от частоты собственных незатухающих колебаний w0:

img754.

Вычислим время – t, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз (e = 2.718 — основание натурального логарифма). При таком уменьшении амплитуды — почти в 3 раза — условно принято считать, что процесс «затух» и система вернулась к положению равновесия.

img755.

Отсюда следует, что время релаксации t обратно пропорционально коэффициенту затухания d:

img756                             (13.10)

Важной характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания d, равный логарифму отношения амплитуд двух соседних колебаний:

img757.             (13.11)

Численно логарифмический декремент затухания равен произведению коэффициента затухания на период колебаний.

Величина, с точностью до множителя p обратная декременту затухания, называется добротностью осциллятора:

img758.                       (13.12)

Подсчитаем число колебаний, которое система совершает за время релаксации t.

img759.

Отсюда следует, что добротность осциллятора с точностью до p равна числу колебаний, за которое амплитуда падает в e раз.

Q = pNt.

Можно показать, что добротность осциллятора напрямую связана с энергетическими потерями в системе:

img760.                       (13.13)

Здесь:    Е — энергия осциллятора;

DЕ — убыль энергии за одно полное колебание (за период).

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.04 секунд 4,190,002 уникальных посетителей