December 03 2016 02:22:53
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Математический маятник
ИЗМЕРЕНИЯ и ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ

Рассмотрим простой маятник – тяжелый шарик, подвешенный на длинной нити. Если размеры шарика много меньше длины нити img0063, то этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку. Растяжением нити также можно пренебречь, так как оно очень мало. Можно пренебречь и массой нити по сравнению с массой шарика img0064. Таким образом, вместо реального маятника - шарика определенного размера на нити, которая, конечно, немного деформируется при движении и имеет массу, мы вправе рассматривать простую модель - материальную точку, подвешенную на нерастяжимой невесомой нити, называемую математическим маятником.

Выведем маятник из положения равновесия и отпустим без толчка. Возникнут колебания, проходящие в некоторой вертикальной плоскости. Траекторией движения шарика будет дуга окружности радиусом img0065. На шарик при движении будут действовать две силы: сила тяжести img0066, направленная вертикально вниз и сила упругости нити img0067, направленная вдоль нити (рис.2). Конечно, при движении маятника на него еще действует сила сопротивления воздуха, но мы будем считать её пренебрежимо малой.

Рассмотрим маятник в произвольный момент времени img0068 в процессе колебаний.

img0069

Рис.2

Пусть img0070 - угол отклонения от вертикали в этот момент. Запишем уравнение второго закона Ньютона в проекции на касательную ось img0071, показанную на рис.2

img0072.

Принимая во внимание связь линейного img0073 и углового img0074 ускорений

img0075

приходим к уравнению

img0076,              (8)    

в котором неизвестная функция img0077 стоит под знаком производной. Такие уравнения в математике называют дифференциальными. Они часто встречаются при решении различных физических задач.

Решение уравнения (8) при произвольном начальном отклонении img0078 может быть либо найдено только численными методами с применением компьютера, либо записано с помощью специальных функций.

Ограничимся случаем малых колебаний, когда img0079.

Как известно из математики, для малых углов img0080 img0081 можно воспользоваться соотношением

img0082(в радианах).              (9)

Заметим, что соотношение (9) может быть использовано и при углах порядка 30 °

img0083;  img0084.

С учетом соотношения (9) уравнение (8) примет вид

img0085.              (10)

Уравнения, подобные этому, носят названия уравнений гармонического осциллятора. Непосредственной подстановкой  можно убедиться, что решение уравнения (9) имеет вид

img0086,

где img0087 - угловая амплитуда колебаний, img0088- начальная фаза (в случае, описанном выше img0089), img0090 - циклическая частота собственных колебаний.

Для периода колебаний математического маятника имеем

img0091.                      (11)

Из полученного нами соотношения (11) вытекает, что период колебаний img0092 при малых колебаниях img0093 не зависит от амплитуды img0094. Это свойство маятника получило название изохронности колебаний.

В ходе эксперимента Вам предстоит определить диапазон изохронности колебаний и экспериментально проверить зависимость периода малых колебаний img0095 от длины маятника img0096, описываемую теоретически полученным соотношением (11). Соотношение (11) можно преобразовать:

img0097.              (12)

Для экспериментальной проверки  соотношения (12) Вам предстоит измерить периоды малых колебаний маятника при различных значениях длины нити и по результатам измерений построить график зависимости img0098, где img0099, а img0100.

Если в пределах точности измерений экспериментальные точки ложатся на прямую, то это может являться экспериментальным подтверждением зависимости (11).

Соотношение (12) может быть использовано для определения ускорения свободного падения. Для этого следует измерить период колебаний маятника img0101 для выбранного значения длины нити img0102 и рассчитать ускорение свободного падения по формуле

img0103.

После оценки погрешности полученное значение img0104 сравнивается с известным Вам табличным значением img0105.

Измерения. Обработка результатов измерения. Пружинный маятник

  1. Прикрепите к подвешенной пружине груз известной массы img0106 и измерьте деформацию пружины img0107. Рассчитайте жесткость пружины по формуле (7) и оцените погрешность.

  2. Сместите груз из положения равновесия на некоторое расстояние img0108 и отпустите. Определите период колебаний для трех различных начальных смещений, измеряя время img0109, за которое груз совершает img0110 колебаний. Число колебаний img0111 выберите таким, чтобы погрешность в определении периода была не больше 1 %. Результаты измерения занесите в таблицу 1:                                                                                       Таблица 1

img0112


img0113


img0114


img0115


Сделайте вывод, зависит ли период от амплитуды колебаний?

  3. Рассчитайте жесткость пружины по формуле (6) и оцените погрешность.

  4. Проведите аналогичную процедуру измерений и расчетов для грузов другой массы. Сопоставьте полученные значения жесткости пружины. Объясните причины возможного несоответствия.

Математический маятник

Определите диапазон изохронности колебаний. Для этого измерьте период колебаний маятника для шести значений амплитуды в пределах от 0°до 30°. Результаты измерений занесите в таблицу 2:

Таблица 2
img0116 img0117 10ºimg0118 15ºimg0119 20ºimg0120 25ºimg0121 30ºimg0122
img0123





img0124





Здесь img0125 - время img0126 колебаний, img0127. Число колебаний выберите таким, чтобы погрешность в определении периода была не более 1%.

Исходя из полученных результатов, выясните, в каком диапазоне амплитуд колебания можно считать изохронными.

  2. Убедитесь в том, что колебания маятника являются слабо затухающими. Для этого выведите маятник из положения равновесия и определите приближенно число колебаний, за которое их амплитуда уменьшается в 2-3 раза. Если img0128img0129 10, то можно считать, что затухание колебаний маятника мало и пользоваться (в диапазоне изохронности) формулой (11) для периода колебаний ( напомним, что при выводе формулы (11) мы пренебрегали действием силы сопротивления воздуха, обуславливающей затухание колебаний).

  3. Измерьте периоды колебаний для 5 различных значений img0130,оцените погрешности измерений. Не забудьте, что амплитуда колебаний img0131 должна быть малой, т.е. находиться в найденном раньше диапазоне изохронности, а длина нити должна быть много больше размеров шарика. Результаты измерений занесите в таблицу 3:

Таблица 3

X = l




img0132




img0133




img0134




img0135




img0136




img0137




img0138




img0139




  4. На миллиметровой бумаге постройте график зависимости img0140 и сделайте соответствующие выводы.                                                

  5. Экспериментально определите ускорение свободного падения и сравните полученное значение с известным вам табличным значением.

Контрольные вопросы

1. Какие колебания называют гармоническими? Дайте определение амплитуды, периода и частоты колебаний.

2. При каких упрощающих предположениях выведены формулы (5) и (11)?

3. Как изменятся периоды колебаний пружинного и математического маятников, если их переместить с Земли на Луну?

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.08 секунд 4,189,921 уникальных посетителей