December 03 2016 15:42:41
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Квазистационарные токи и Электрические колебания
Методические пособия к решению задач по курсу Электрическтво и магнетизм

Цепи переменного тока могут содержать три типа элементов: резисторы, конденсаторы и индуктивности. Если линейный размер цепи l достаточно мал, а характерное время T изменения токов и напряжений в цепи достаточно велико, так что l<<cT, где c=3 108 м/с – скорость распространения электромагнитных волн, то можно считать, что соотношения между мгновенными величинами токов и напряжений в цепи будут такими же, как и для постоянных токов, но с учетом двух отличий. Первое – вследствие закона сохранения количества электричества изменение заряда на конденсаторе dq происходит только вследствие протекания электрического тока I в течение времени dt: dq=Idt. Второе – вследствие закона электромагнитной индукции и правила Ленца на индуктивных элементах существует разность потенциалов, препятствующая изменению тока в цепи. При выполнении условия l<<cT токи называют квазистационарными. Для квазистационарных токов в точках разветвления цепи можно пользоваться без изменений первым правилом Кирхгофа:

          S Ii=0.

При пользовании вторым правилом Кирхгофа нужно учитывать разность потенциалов не только на резисторах, но и на емкостных и индуктивных элементах цепи:

          UR=IR,         UC=q/C,   UL=LdI/dt.

Цепь, содержащая емкостный и индуктивный элементы, называют колебательным контуром без потерь. Цепь, содержащая элементы всех трех типов, называют колебательным контуром с потерями. При действии в контуре внешней ЭДС, изменяющейся во времени, уравнение движения для напряжения на конденсаторе UC º U следующее:

UL+ UR+ UC= Є(t), или img137= Є(t)

Введя обозначения img138, img139, это уравнение можно переписать в виде

            img140 Є(t)

Частота w0 – это частота собственных колебаний в контуре без потерь, b называют частотой затухания. Если внешняя ЭДС в контуре не действует, то колебания в нем называют свободными. Уравнение свободных колебаний имеет вид

            img141

Решение этого уравнения дается формулой


            img142

Частота w дается формулой img143. Для определения величин Um и j следует использовать начальные условия.

Колебания в контуре являются затухающими, их амплитуда уменьшается по показательному закону. Натуральный логарифм отношения двух любых последовательных амплитуд колебаний называют логарифмическим декрементом затухания l=ln(An/An+1)=bT, T=2p/w - период колебаний. Логарифмический декремент затухания характеризует скорость убывания амплитуды колебаний. Колебательный контур характеризуют также величиной Q=r/R, которую называют добротностью колебательного контура, а параметр img144, имеющий размерность сопротивления, называют волновым или характеристическим сопротивлением контура. В случае слабого затухания b<<w0 l=p/Q.

  1. Цепь состоит из источника тока с ЭДС Є, и резисторов с сопротивлениями R1 и R2, конденсатора емкостью C и разомкнутого ключа К. В начальный момент ключ замыкают. Определить, как будет изменяться заряд на конденсаторе после замыкания ключа. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.


Решение


Ток источника I складывается из токов через резистор R1 - I1 и конденсатор IС :

          I= I1+ IС

Применяя второе правило Кирхгофа к контуру, содержащему источник тока и оба резистора, и к контуру, содержащему первый резистор и конденсатор, будем иметь:

          I1R1+IR2= Є

          q/C- I1R1=0

Исключив токи I и I1 из первых двух уравнений и подставив их в третье с учетом IC=dq/dt, получим уравнение

            img145img146 Є/R1,

где T=R1R2C/(R1+R2). Когда заряд на конденсаторе станет максимальным, ток через него прекратится, dq/dt=0. Из этого уравнения можно найти максимальный заряд на конденсаторе: qm=T Є /R1. Так как в начальный момент конденсатор не заряжен, решением этого уравнения с нулевым начальным условием будет

          q(t)=qm(1-exp(-t/T))

  1. Цепь состоит из источника тока с ЭДС Є, и резисторов с сопротивлениями R1 и R2, катушки с индуктивностью L и разомкнутого ключа К. В начальный момент ключ замыкают. Определить, как будет изменяться ток через катушку после замыкания ключа. Внутренним сопротивлением источника тока пренебречь.


Решение


Ток источника I складывается из токов через резистор R1 - I1 и катушку IL :

          I= I1+ IL

Применяя второе правило Кирхгофа к контуру, содержащему источник тока и оба резистора, и к контуру, содержащему первый резистор и катушку, будем иметь:

          I1R1+IR2= Є

          LdIL/dt- I1R1=0

Исключив токи I и I1 из первых двух уравнений и подставив их в третье, получим уравнение

            img147img148 Є/TR2,

где T=(R1+ R2)L/R1R2. Ток через катушку ,будет максимальным, когда он перестанет изменятся, dIL/dt=0. Из этого уравнения можно найти максимальный ток через катушку: Im  = Є /R2. Так как в начальный момент тока через катушку нет, решением этого уравнения с нулевым начальным условием будет

          IL q(t)=Im(1-exp(-t/T))

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.07 секунд 4,191,198 уникальных посетителей