December 03 2016 02:24:23
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Квантование как проблема собственных значений
Физика колебаний и волн. Квантовая физика

Именно такое название носит знаменитая работа Шредингера по волновой механике. Смысл этого названия состоит в следующем.

Так как ψ-функция связана с вероятностными характеристиками, эта функция должна быть однозначной, непрерывной, конечной и, кроме того, она должна иметь непрерывную и постоянную производную. Эти требования к ψ-функции получили название «стандартные условия».

Доказано, что уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых значениях полной энергии частицы E. Эти значения энергии образуют ряд так называемых собственных значений.

ψ-функции, соответствующие этим собственным значениям энергии, называются собственными функциями.

Покажем, что волновое уравнение Шредингера автоматически приводит к дискретности энергии частицы и к энергетическим уровням.

  1. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Рассмотрим, какие энергии доступны частице, помещённой в ящик длиной a с бесконечно высокими стенками (рис. 14.1). Здесь частице позволено двигаться вдоль оси x на участке от x = 0 до x = a. Потенциальная энергия частицы внутри ящика равна 0 при 0 ≤ x ≤ a и бесконечна за пределами потенциальной ямы когда x < a и x > a. Воспользуемся стационарным уравнением Шредингера:

img09                   (14.5)

Рис. 14.1.

Так как частица не может оказаться за пределами ямы (вероятность такого события равна 0), то ψ-функция вне ямы и на её границе равна нулю:

ψ(0) = ψ(l) = 0

Для частицы внутри потенциальной ямы, где U = 0, волновое уравнение принимает следующий вид:

img10         (14.6)

Подобное дифференциальное уравнение хорошо известно из теории колебаний. Его решение

img11, где img12

Выясним значение констант k и a, воспользовавшись граничными условиями. При x = 0

ψ (0) = a sina = 0.

Это означает, что a = 0.

Воспользуемся вторым граничным условием: при x = l, img13

Отсюда следует, что img14.

Вспомнив, что img15, получим набор собственных значений энергии:

img16    .              (14.7)

Так уравнение Шредингера ненасильственно приводит к дискретности энергии частицы в потенциальном ящике. Внутри потенциальной ямы частице доступны лишь вполне определённые значения энергии (рис. 14.2)

                                                                                                                                                       

Рис. 14.2

Отыщем теперь собственные значения волновой функции img17.

Здесь осталось определить только амплитуду, для чего воспользуемся условием нормировки:

img18.

img19,   поэтому   img20

Теперь собственные функции можно представить так

img21              (14.8)

img22

                                                    a)                         b)

Рис 14.3

Графики собственных функций (а) и плотности вероятности (b) приведены на рис.14.3. Попробуйте проанализировать полученные результаты.

Например, при n = 2 вероятность обнаружить частицу в центре ямы равна нулю, а при n = 1 эта вероятность максимальна!

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.08 секунд 4,189,941 уникальных посетителей