December 03 2016 15:41:17
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Кинематические характеристики плоской скалярной волны
Физика колебаний и волн. Квантовая физика

В общем случае уравнение плоской скалярной волны можно записать в виде

S = f (t,x)                        (1.7)

Это уравнение означает, что скалярный параметр S в любой заданный момент времени имеет одно и то же значение во всех точках плоскости x = x1 = const.

Наибольший интерес для нас будет представлять волна, в которой координата (х) и время (t) входят в уравнение (1.7) в виде линейной комбинации

S = f (at - bx).                             (1.8)

Здесь     a и b — постоянные,

f — функция, определяющая форму передаваемого сигнала.

Мы будем рассматривать распространение гармонического колебания, когда параметр S меняется во времени и в пространстве по гармоническому закону.

a) Осциллограмма волны: S = f (t).

Рассмотрим зависимость S = f (t) для двух плоскостей x = 0 и x = x1.

x = 0          S(t,0)= S(at)                                (1.9)

img020    (1.10)

Сравнение уравнений (1.9) и (1.10) показывает, что изменение параметра S в плоскости x, в точности повторяет изменение этой величины в плоскости x = 0, но с запаздыванием на img021, где img022.

b) Фотография волны.

Рассмотрим фотографию волны в плоскости x в моменты времени t = 0 и t = t1.

img023                        (1.11)

img024.             (1.12)

Сопоставляя эти уравнения, приходим к выводу, что волна не меняет своей формы: за время t1 сигнал перемещается со скоростью img025 вдоль оси Х на расстояние vt1. Волна при этом не деформируется.

Вывод:

img026 — уравнение плоской скалярной, недеформируемой волны, распространяющейся со скоростью img027 в положительном направлении оси x.

В случае синусоидальной волны f — гармоническая функция координаты и времени.

Путь в плоскости, проходящей через начало координат, происходят колебания с частотой ω (рис. 1.2).

img028

img029 начальная фаза колебаний.

В плоскости, отстоящей от исходной на расстоянии l, эти колебания повторяются с запаздыванием img030.Здесь v — скорость распространения волны.

Колебания в точке, определяемой радиус – вектором img031(рис.1.2):

img032

Мы пришли к уравнению плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении.

                 img033                     (1.14)

Рис. 1.2

Здесь:    img034 — волновой вектор,

img035 — волновое число.

img036 — единичный вектор, совпадающий по направлению с направлением распространения волны.

Волновой вектор img037 — тоже указывает направление движения волны.

В частном случае

img038                        (1.15)

Формула 1.15 — уравнение плоской волны, движущейся в положительном направлении оси Х.

Это монохроматическая (одноцветная) волна img039

Зафиксировав какое – либо значение фазы волны, получим уравнение движения выбранной фазовой поверхности (в нашем случае – плоскости) img040

img041                             (1.16)

Волновой (фазовой) поверхностью называется геометрическое место точек, в которых фаза волны имеет одинаковое значение.

Продифференцируем уравнение (1.16) по времени:

                              img042        img043.             (1.17)

Скорость движения фазовой поверхности vф равна скорости распространения волны. Если плоская волна движется в отрицательном направлении оси x, то v < 0 и уравнение волны принимает вид

img044.

Уравнение волныimg045 является решением дифференциального волнового уравнения:

img046.                       (1.18)

Докажем это, показав, что гармоническая функция (1.15) обращает дифференциальное уравнение (1.18) в тождество.

img047

Здесь img048 — фаза волны.

img049.

Рассмотрим две фазовые поверхности плоской волны

img050.

img051.

Разность этих фаз img052

Колебания, происходящие со сдвигом по фазе, кратным 2π, называются

синфазными. Иными словами, разность фаз двух синфазных колебаний равна

img053

Минимальное расстояние между двумя фазовыми поверхностями, в которых происходят синфазные колебания, называется длиной волны (λ)

img054.

img055.

Поэтому

img056.                       (1.19)

Здесь:    img057период колебания,

λ — длина волны. Длину волны теперь можно определить как расстояние, которое           проходит волна за время одного полного колебания T (λ = v T).

  1. Геометрические типы гармонических волн


Плоская волна

img058

img059.



Цилиндрическая волна

                                         img060

img061.

Сферическая волна

img062

img063.

  1. Эффект Доплера

Рассмотрим распространение волн на поверхности жидкости.

Пусть волны возникают в результате падения на поверхность капель воды. Эти капли через одинаковые промежутки времени T0 покидают неподвижную капельницу.

Распространяющиеся волны будут представлять собой концентрические окружности. Частота, которую воспринимает приемник в этом случае

                                                 img064      

Теперь заставим нашу капельницу – источник волн - двигаться  горизонтально со скоростью U. Картина волн изменится: теперь это система эксцентрических окружностей. В направлении движения источника расстояние между гребнями станет меньше, т.е. их частота возрастет. Вычислим, частоту, которую зарегистрирует приемник в произвольном направлении θ (рис. 1.3).














Рис. 1.3

img065

img066

img067img068

При θ = 0, π        img069

При img070          ωθ = ω0

Можно показать, что частота сигнала меняется не только в результате движения источника (u), но и при движении приёмника (vп).

При движении источника (u) и приёмника (vп) по одной прямой, частота, регистрируемая приёмником, будет равна

img071                             (1.20)

Здесь:    v — скорость волны,

vп — скорость приёмника,

u — скорость источника.

При движется — к источнику vп > 0,

— от источника vп< 0.

Источник движется — к приемнику u>0,

                        — от приемника u< 0.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.08 секунд 4,191,173 уникальных посетителей