December 10 2016 04:58:59
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Изучение затухающих колебаний в колебательном контуре
Электричество и магнетизм Методические указания

Цель работы – изучение колебаний в колебательном контуре в зависимости от активного сопротивления контура и расчет параметров колебательном контура.

Колебательный контур состоит из последовательно соединенных конденсатора C, катушки индуктивности L и активного сопротивления R. Рис.1

Предполагается, что рассматриваемая электрическая цепь представляет собой линейную систему с постоянными параметрами L, C, R, удовлетворяющую условию квазистационарности, т.е. когда значение тока I в данный момент времени одинаково во всех элементах цепи.

Если конденсатору C сообщить заряд q0, а затем замкнуть ключ K, то в цепи появится ток. Для данного момента времени t заряд конденсатора q, напряжение на его пластинах U и ток в цепи I связаны между собой соотношениями:

q = C ×U,                   I = - img054 = - C  img055.                             (1)

Из закона Ома следует

IR=U+EC,                                                     (2)

где EC = - L  img056 - э.д.с. самоиндукции в катушке L. Подставляя  выражения I и EC в (2), получим:

LCimg057+ RCimg058+U=0.                                        (3)

Это уравнение можно представить в виде:

img059+2βimg060+ω02U=0,                                       (4)

где введены обозначения 2β =img061, ω02 =img062.

Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение затухающих колебаний в контуре. Можно сказать, что при не слишком большом сопротивлении R, когда β < ω0 или R < 2img063, решением уравнения (4) является функция

U(t)=U0e-βtcos(ωt + φ) = Um(t)cos (ωt + φ),                   (5)

которая описывает затухающие колебания напряжения на конденсаторе контура. В уравнении (5) ω = img064= img065 - частота затухающих колебаний; ω0 = img066 - частота собственных колебаний идеального контура при R=0; β = img067 - коэффициент затухания, Um (t) = U0  e-βt – амплитуда колебаний в момент времени t. Постоянные величины U0 и φ определяются из начальных условий. Период затухающих колебаний

T=img068.                                            (6)

На рис.2 показана зависимость заряда q и напряжения U на конденсаторе колебательного контура от времени.

Характеристикой затухания колебаний в контуре является логарифмический декремент затухания λ, который определяется как логарифм отношения двух любых последовательных амплитуд, отстоящих друг от друга по времени на период T:

img069.                                  (7)

Рис. 2


         Если амплитуда колебаний Um(t) = U0  e = U0  e-img070 за время τ уменьшается в e раз, то

img071= eimg072=e,img073=img074n=1,λ=img075,                                  (8)                                 где n= img076- число колебаний за время τ. Следовательно, логарифмический декремент обратен по величине числу колебаний n, совершаемых за время, когда амплитуда уменьшается в e раз.

Подставляя в (7), для случая слабого затухания (β<<ω0), значения β = img077 и Timg078 T0 = img079, найдем для λ выражение:

     λ=πRimg080=πR/ρ,                                             (9)

где величина ρ = img081 имеет размерность ''сопротивления'' – и называется ''характеристическим сопротивлением'' контура.

Колебательный контур часто  характеризуется добротностью

Q= π/λ = ρ/R = πn.

Добротность контура определяет относительную убыль энергии в процессе колебаний :

Q=img082,                                                       (10)

где W – полный запас энергии в контуре; ΔW – уменьшение энергии за один период колебаний.

Если активное сопротивление R контура велико, β2 img083 ω02 или

img084img085img086, то процесс разрядки конденсатора имеет апериодический характер (колебания отсутствуют). Сопротивление R, при котором колебательный процесс переходит в периодический называется критическим. Критическое сопротивление Rкр определяется из условия

img087,   Rкр = img088= .                                    (12)

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.06 секунд 4,204,153 уникальных посетителей