Случайные величины могут меняться как дискретным, так и непрерывным образом. Если случайная величина х меняется непрерывным образом в интервале , то её можно характеризовать с помощью функции распределения, или плотности вероятности,

,                                                     (7.2)

где

                                                 (7.3)

есть вероятность нахождения случайной величины х в бесконечно малом интервале . Функция распределения является неотрицательной и удовлетворяет условию нормировки

,                                        (7.4)

поскольку, случайная величина х с достоверностью, т.е. с вероятностью, равной 1,  находится в интервале . Событие, которое при данных условиях обязательно произойдет, называется достоверным.

Среднее значение , квадратичная дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины описываются формулами:

,                                             (7.5)

,                          (7.6)

,                                 (7.7)

где всегда ≥.

    Одной из наиболее широко распространённых функций распределения является гауссова функция

,     ,                                (7.8)

где-среднее значение случайной величины x и - среднеквадратичное отклонение этой величины. Распределение Гаусса (7.8) нормировано в соответствии с (7.4)

.                                    (7.9)

Здесь используется табличный несобственный интеграл

.

    Для применения статистического метода к описанию теплового движения частиц вводится специальное фазовое пространство, или пространство состояний. Для одной частицы фазовое пространство образуется тремя координатами x, y, z и тремя проекциями вектора скорости v_x, v_y, v_z. Состояние частицы в произвольный момент времени изображается в виде точки этого шестимерного фазового пространства. В случае движения частицы её изображающая точка описывает траекторию в фазовом пространстве, которая называется фазовой траекторией.

    При статистическом описании  теплового движения попадание изображающей точки в бесконечно малый элемент фазового пространства

, ; , ; , ; , ; , ; ,      (7.10)

является случайным событием, а переходы изображающей точки из одного элемента фазового пространства в другой -случайным стационарным процессом, характеристики которого не зависят от времени. Это означает, что временные изменения  радиус-вектора и вектора скорости частицы уже не описываются уравнениями движения Ньютона и подчиняются статистическим закономерностям.

В условиях равновесия идеального газа, где пренебрегается потенциальной энергией взаимодействия между частицами,  движения изображающей точки в координатном подпространстве и в подпространстве скоростей являются  независимыми случайными процессами. Благодаря этому полная функция распределения записывается в виде произведения функции распределения по координатам частицы и функции распределения по компонентам скорости частицы

.                       (7.11)

Здесь функции и удовлетворяют условиям нормировки

,     ,             (7.12)

где V – объем области, в которой движется частица, и для упрощения расчетов принимается, что величина скорости частицы может меняться от 0 до несмотря на то, что специальная теория относительности запрещает движение частиц и физических полей со скоростью, превышающей скорость света в вакууме.

Вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом элементе координатного подпространства

                                  (7.13)

и вероятность обнаружения частицы в бесконечно малом элементе подпространства скоростей

.                          (7.14)

С экспериментальной точки зрения вероятности (7.13) и (7.14) равны отношению , где - суммарное время, в течение которого частица находилась в указанном элементе пространства, а - достаточно большое время наблюдения.

Динамика перехода системы частиц из произвольного начального состояния в конечное равновесное состояние в статистической физике описывается как изменение во времени функции распределения Ф от некоторой начальной функции распределения к конечной функции распределения равновесного состояния системы. Соответствующее уравнение движения, позволяющее рассчитать временную эволюцию функции распределения, называется кинетическим уравнением. Кинетическое уравнение для функции распределения всегда содержит информацию о взаимодействии частиц, благодаря которому устанавливается равновесное состояние. Для идеального газа роль такого взаимодействия играют столкновения частиц. В равновесном состоянии функция распределения остается неизменной несмотря на сложный случайный характер движения частиц и их взаимодействия. Отметим, что в равновесной термодинамике отсутствует время, которое появляется только в статистической физике при описании релаксации системы в равновесное состояние.

Необходимо подчеркнуть, что статистическая физика базируется на молекулярно-кинетических представлениях о строении вещества. Любое твердое, жидкое и газообразное вещество, состоящие из очень большого числа частиц, может рассматриваться как механическая система с гигантским числом степеней свободы. При этом изучаются такие общие закономерности, которые связаны с массовым характером явлений и практически не зависят от индивидуальных особенностей движения отдельной частицы. Одной из главных характеристик массовых явлений, изучаемых в статистической физике, является независимость их временных асимптотик при от начального состояния системы.

Теория вероятностей позволяет отказаться от полноты описания всех возможных механических движений частиц системы. Она ограничивается рассмотрением лишь наиболее вероятных движений, которые на достаточно большом интервале времени наблюдения встречаются наиболее часто. Здесь очень важную роль играют так называемые предельные теоремы теории вероятностей, определяющие поведение очень большой совокупности случайных величин.