Осталось убедиться, что по модулю изменения объемов равны, так как газ должен вернуться в первоначальное состояние. Для этого вспомним полученное при рассмотрении цикла Карно соотношение  V_н2/V_н1 = V_х3/V_х4  а также выражение для адиабаты через число степеней свободы молекулы газа VТ^i/2 = Const. Поскольку 1-я и 4-я точки на диаграмме цикла Карно в координатах давление-объем связаны адиабатой, то V_н1Т_н^i/2 = V_х4Т_х^i/2. Если учесть эти уравнения, то очевидно равенство (по модулю) изменений эффективных фазовых объемов в цикле Карно на изотермических участках,  dW_н  = - dW_х,  что и требовалось показать. Таким образом, рабочее тело (идеальный газ) при завершении цикла Карно возвращается к первоначальному эффективному фазовому объему, характеризующему хаотичность его  состояния.

Таким образом, мы убедились, что эффективный объем ведет себя в обратимых процессах аналогично энтропии. Будем для определенности считать его пропорциональным энтропии.

Теперь обратимся к рассмотрению поведения эффективного объема при самопроизвольном выравнивании температур, вследствие теплообмена через теплопроводящую перегородку, двух идентичных количеств газа, отличающихся только температурами, причем Т₁ > Т₂. Мы знаем из термодинамики, что этот процесс необратим и энтропия должна возрасти. Посмотрим, справедливо ли это для эффективного объема.

Энтропия, как аддитивная величина, для первоначального состояния (с разными температурами, но одинаковыми объемами) находится как сумма энтропий этих газов   S⁽¹⁾ = S₁⁽¹⁾ + S₂⁽¹⁾ ,   или

  S⁽¹⁾ = Const{ΠDq_i1Dp_i1 + SΠq_i2Dp_i2} = Const{ΠDq_i[ΠDp_i1⁽¹⁾+ ΠDp_i2⁽¹⁾]},

так как объемы газов одинаковы, и, следовательно, одинаков разброс по координатам (множитель перед прямой скобкой пропорционален объему каждого из газов). Значит, энтропия первоначального состояния

S⁽¹⁾ = Const·[ΠDp_i1⁽¹⁾+ ΠDp_i2⁽¹⁾].

После замены теплоизолирующей перегородки на теплопроводящую и выравнивания  температур до средней температуры q = (Т₁+Т₂)/2, новое значение энтропии, вычисленное через эффективные объемы, будет (при сохранении множителя перед прямой скобкой)

   S⁽²⁾ = S₁⁽²⁾ + S₂⁽²⁾ = Const·[Dp_i1⁽²⁾+ Dp_i2⁽²⁾]= Const·[2Dp_i1⁽²⁾],

так как после выравнивания температур усредненный разброс импульсов у молекул в разных отсеках теперь одинаков (а не только разброс по координатам).    

По свойству дисперсии гауссова распределения стандарт импульса  Dp_i ~ √Т  и, следовательно, энтропия начального состояния S⁽¹⁾ = Const·(ÖT₁+ÖT₂), а  S⁽²⁾ = Const·[2Öq] = Const·[].

    Теперь мы можем найти отношение начального значения энтропии к её конечному значению                                                                 S⁽¹⁾/ S⁽²⁾   =   (ÖT₁+ÖT₂)/.             

Для утверждения, что эффективный объем возрастает после выравнивания температур, осталось показать, что правая часть равенства меньше единицы. Для этого возводим правую часть в квадрат, делим числитель на знаменатель и получаем выражение

                 ½ [1 + (ÖT₁ÖT₂)/{(T₁+T₂)/2}],

где в числителе дроби в квадратной скобке оказалось среднее геометрическое, а в знаменателе - среднее арифметическое первоначальных температур, но первое (геометрическое), как известно, всегда меньше второго (арифметического). Следовательно, число в квадратной скобке меньше двух, и значит правая часть уравнения для отношения энтропий меньше единицы, и   S⁽¹⁾ < S⁽²⁾. Тем самым показано, что эффективный объем ведет себя при необратимых процессах выравнивания температур так же, как и энтропия, то есть возрастает, как и должно быть, если этот объём действительно является наглядным отображением энтропии в фазовом пространстве.

    Как видно из всех рассмотренных примеров, эффективный объем ведет себя как в обратимых, так и в необратимых процессах так же как энтропия согласно предсказаниям термодинамики.

    Согласно квантовой статистике фазовое пространство дискретно и делится на элементарные ячейки размером (hⁱ). Чем больше эффективный объем, тем больше статистический вес термодинамической системы W, который в соответствии с квантовой статистикой будет у нас равен частному от деления эффективного объема на постоянную Планка в степени, равной числу степеней свободы, то есть на (hⁱ), и значит, больше  энтропия S = k·lnW.  

Таким образом, сообщая термодинамической системе теплоту, мы тем самым увеличиваем степень хаотичности ее состояния, «раздувая» эффективный объем, увеличиваем статистический вес системы и наращиваем энтропию.

Из всего вышеизложенного следует, что энтропии может быть сопоставлен наглядный образ – эффективный объем в фазовом пространстве.

Рекомендуемая литература

1.      Леонтович М.А.    Введение в термодинамику. - М.: ГИТТЛ,        1952.  200с.

2.      Тер Хаар Д., Вергелянд Г.      Элементарная термодинамика. - М.:     Мир,1968. 220с.

3. Сивухин Д.В.          Общий курс физики. Т.2.    Термодинамика и    молекулярная физика. - М.: Наука, 1975. 552с.