December 10 2016 05:02:47
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Энергетический спектр атома водорода
Физические основы информации

1. Интегралы движения. Стационарные состояния. Проблема устойчивости атома водорода. Дискретность спектров излучения и поглощения атома водорода.

2. Теория Н. Бора. Квантование момента импульса электрона. Энергетический спектр атома водорода в теории Бора. Постулаты Бора. Ограниченность теории Бора.

3. Стационарное уравнение Шредингера для атома водорода. Интегралы движения и главные квантовые числа. Вырождение энергетических уровней. Энергия ионизации. Ридберговские состояния.

4. Магнитные взаимодействия в атомах. Магнитные моменты электронов, нуклонов, атомного ядра и атома. Тонкая и сверхтонкая структуры энергетического спектра атома водорода.

5. Энергетический спектр атома водорода в постоянных электрическом и магнитном полях. Эффекты Штарка и Зеемана. Атом водорода в сверхсильных полях.

6. Взаимодействие атома водорода с физическим вакуумом. Виртуальные фотоны и электрон-позитронные пары. Сдвиг Лэмба. Неустойчивость сверхтяжелых ядер.

7. Использование энергетического спектра атома водорода в прецизионных измерениях фундаментальных физических постоянных и проверке физических теорий. Мюоний и позитроний.

В трех наиболее важных для человека фазах вещества – газе, жидкости и твердом теле, основу составляют атомы. Стабильность атомов обеспечивается электромагнитным взаимодействием между электронами и атомным ядром, образованным протонами и нейтронами за счет сильного взаимодействия. Ядро является положительно заряженным и занимает область пространства с линейным размером ~10-15 м. Электроны распределены вокруг ядра в области с линейным размером ~10-10 м. Основная масса атома сосредоточена внутри ядра, на электроны приходится <0,05% всей массы. (При плотной упаковке атомных ядер человека массой 100 кг получится область с линейным размером ~5 мкм).

Самый простой по своему строению атом – это атом водорода, состоящий из протона и электрона. В случае стабильного атома электрон совершает финитное движение. Простейшая модель финитного движения электрона представляет собой движение по круговой орбите, в центре которой находится неподвижный протон (движением протона можно пренебречь, поскольку его масса mp >> m – массы электрона). Согласно второму закону Ньютона:

img169,                                                                                                                      (II.4.1)

где v – линейная скорость движения электрона по окружности радиусом r, e0=8,85·10-12 Ф/м - электрическая постоянная, заряд протона по абсолютной величине равен заряду электрона e.

Кулоновское взаимодействие точечных электрических зарядов является центральным, поэтому при движении электрона сохраняется постоянным момент импульса относительно неподвижного протона, который считается материальной точкой

img170.                                                                                                                 (II.4.2)

Отсюда следует, что круговое движение электрона происходит в плоскости, перпендикулярной вектору img171. Если ось z провести через центр орбиты перпендикулярно плоскости движения в направлении вектора img172, то закон сохранения (II.4.2) можно записать в скалярной форме

img173.                                                                                          (II.4.3)

Кулоновские силы консервативные, поэтому для изолированного от внешних воздействий атома выполняется закон сохранения механической энергии

img174.                                                                                      (II.4.4)

Здесь предполагается, что движение электрона является нерелятивистским и v << с.

Исключая из (II.4.4) с помощью (II.4.3) скорость электрона v, получим зависимость энергии E от радиуса орбиты электрона

img175.                                                                                                                 (II.4.5)

Энергия E0 основного состояния имеет минимальную величину, определяемую с помощью условия dE/dr = 0:

img176, img177.                                           (II.4.6)

При этом классическая теория оставляет неопределенной величину Lz момента импульса. Кроме того, при движении электрона по круговой орбите должно происходить излучение электромагнитных волн, что должно уменьшать энергию системы и в конечном итоге за время

img178                                     (II.4.7)

электрон должен упасть на протон. Здесь d-электрический дипольный момент электрона, w= v/r, точка сверху обозначает дифференцирование по времени. При падении электрона на протон угловая скорость движения электрона неограниченно возрастает, что должно приводить к сплошному спектру излучения, неограниченному по частоте.

Все эти выводы противоречат опыту, что показывает невозможность классической теории правильно описать свойства атома водорода. Первый шаг в понимании закономерностей движения электрона в атоме водорода был сделан Бором, который дополнил классические уравнения (II.4.1) – (II.4.4) уравнением квантования момента импульса электрона

img179  , n = 1,2, … ,                                                                       (II.4.8)

которое после подстановки в (II.4.6) даёт дискретный энергетический спектр для финитного движения электрона

img180,     n=1,2,3, … .                                                         (II.4.9)

Кроме того, Бору пришлось постулировать отсутствие электромагнитного излучения, если электрон находится в стационарном состоянии с энергией (II.4.9), совершая финитное движение вокруг протона. Этот постулат обеспечивает постоянство во времени энергии стационарных состояний.

Если энергия электрона положительна, то его движение становится инфинитным, т.е. он может удаляться от протона на сколь угодно большое расстояние. Энергетический спектр инфинитного движения является сплошным и занимает полубесконечный интервал

img181.                                                                                                                                (II.4.10)

Переход электронов из состояния финитного движения с дискретным спектром в состояние инфинитного движения со сплошным спектром называется ионизацией. Минимальная энергия, которую необходимо передать электрону в стационарном состоянии с энергией En для того, чтобы произошла ионизация атома водорода, определяется соотношением

img182.                                                                                                                           (II.4.11)

В лабораторных условиях регистрируется селективное заселение высоковозбуждённых состояний атома водорода с img183, что открывает возможности для прецизионных измерений фундаментальных атомных постоянных. В космическом пространстве встречаются возбужденные атомы водорода с img184. Поскольку размер атома в возбужденном состоянии ~n2 r0 , то для n ≥ 1000 этот размер ≥50мкм. Высоковозбужденные состояния атома водорода получили название ридберговских состояний.

Кроме движения, соответствующего стационарным состояниям с постоянной энергией, электрон может совершать качественно другое движение, соответствующее переходам между разными стационарными состояниями. Эти переходы (квантовые скачки) не имеют классического аналога и согласно формализму нерелятивистской квантовой механики происходят мгновенно. Именно при таких переходах осуществляется обмен энергией между атомом и внешним электромагнитным полем. Если происходит взаимодействие атома с переменным во времени электромагнитным полем, то в соответствии со вторым постулатом Бора закон сохранения энергии записывается в виде

img185,                                                                                                                           (II.4.12)

где img186 – энергия фотона (кванта) электромагнитного поля с частотой w, знак “+” соответствует переходу электрона из стационарного состояния с большей энергией Em в состояние с меньшей энергией En, когда происходит излучение фотона с частотой w, знак “–“ соответствует переходу электрона из стационарного состояния с меньшей энергией Em в стационарное состояние с большей энергией En, когда происходит поглощение фотона с частотой w.

Простая теория Бора не учитывает все возможные движения электрона, в частности, по эллиптическим орбитам. Кроме того, она, вообще говоря, не применима к атомам, где число электронов больше одного. В ней не учитываются магнитные взаимодействия, наличие спина у электрона и нуклонов, релятивистские эффекты. Главное достоинство этой теории заключается в том, что на эвристическом уровне была показана важность квантования физических величин, а также существование неклассических движений.

Согласно формализму нерелятивистской квантовой теории нахождение характеристик стационарных состояний атома водорода сводится к решению стационарного уравнения Шредингера, где оператор полной энергии есть сумма оператора кинетической энергии электрона и оператора потенциальной энергии кулоновского взаимодействия электрона с неподвижным протоном

img187                                                                         (II.4.13а)

при граничных условиях

img188,      img189,                                                               (II.4.13б)

где img190, img191, начало системы координат x = y = z = 0 совмещено с точкой, в которой находится протон.

Анализ показывает, что операторы полной энергии img192, квадрата момента импульса img193 относительно точки, где находится протон, и проекции момента импульса img194 на произвольную ось z, проходящую через центр атома, коммутируют. Отсюда следует, что в стационарных состояниях атома водорода сохраняются постоянными не только энергия, но и квадрат момента импульса вместе с проекцией момента импульса на произвольную ось z. При этом волновые функции стационарных состояний одновременно являются собственными функциями всех трех операторов img195, img196 и img197.

Трем сохраняющимся величинам соответствуют три квантовых числа, определяющих стационарные состояния атома водорода:

1) главное квантовое число n, задающее величину энергии,

img198,     n=1,2,3, …;                                       (II.4.14)

2) азимутальное квантовое число , задающее величину квадрата момента импульса,

img199,   =0,1,2,…,n-1;

3) магнитное квантовое число m, задающее проекцию момента импульса на ось z,

img200,   m=-,-(-1),…,0,…,-1,.                                               (II.4.16)

Согласно (II.4.14) энергия стационарных состояний не зависит от азимутального квантового числа и магнитного квантового числа m. Такие состояния называются вырожденными. Кратность вырождения (полное число различных стационарных состояний с одинаковой энергией) стационарного состояния определяется главным квантовым числом и равна

img201.                                                                                                                           (II.4.17)

Вырожденность энергетических уровней есть следствие симметрии системы. Внешние поля меняют симметрию системы, что может привести к полному или частичному снятию вырождения.

Экспериментальное изучение энергетических спектров атомов основано на измерении частот электромагнитного излучения, на которых происходит излучение или поглощение атомов. Исследование спектров щелочных металлов показало, что каждая линия этих спектров является дублетом, т.е. состоит из двух отдельных линий. Для объяснения данного расщепления спектральных линий в 1925 г. С. Гаудсмит и Д. Уленбек выдвинули гипотезу о наличии у электрона собственного момента импульса – спина, не связанного с движением центра масс электрона. Величина спинового момента электрона

img202,                                                                                                                           (II.4.18)

где s = 1/2. Спиновое движение электрона обуславливает его собственный магнитный момент

img203.                                                                                  (II.4.19)

С орбитальным движением электрона вокруг ядра связан дополнительный магнитный момент

img204,                                                                                  (II.4.20)

где

img205                   (II.4.21)

- магнетон Бора (единица магнитного момента в атомной физике).

Взаимодействие спинового и орбитальных магнитных моментов посредством магнитного поля (спин – орбитальное взаимодействие) приводит к сдвигу и расщеплению энергетических уровней, определяемых формулами (II.4.14)-(II.4.16). В результате возникает тонкая структура энергетического спектра атома водорода с характерной энергией

img206,                                                                                                                      (II.4.22)

где img207 - постоянная тонкой структуры, Z – заряд ядра (для атома водорода Z=1) и En – энергия стационарного состояния (II.4.14). Из (II.4.21) следует что спин-орбитальное взаимодействие играет важную роль для сверхтяжелых элементов с Z³100. Для атома водорода img208эВ.

Атомное ядро также обладает магнитным моментом, который связан как со спинами нуклонов, так и их орбитальным движением. Порядок величины соответствующего магнитного момента определяется ядерным магнетом

img209,                                                                                  (II.4.23)

где img210 - масса протона. Взаимодействие магнитных моментов электронов и ядра определяет сверхтонкую структуру энергетического спектра атомов с характерной энергией

img211.                                              (II.4.24)

Здесь Z заряд ядра, a – постоянная тонкой структуры, Rя – размер ядра, re – размер электронной оболочки, img212 – комптоновская длина волны электрона.

Постоянные электрическое и магнитное поля задают выделенное направление и поэтому меняют симметрию атомной системы. В результате взаимодействия с этими полями происходит смещение и расщепление (снятие вырождения) энергетических уровней. В спектрах поглощения и излучения атомов, находящихся во внешнем электрическом или магнитном поле, появляются новые спектральные линии, положения которых на оси частот (или длин волн) зависит от величины поля.

Расщепление и смещение энергетических уровней атомов под действием электрического поля называется эффектом Штарка (1913г.), а под действием магнитного поля – эффектом Зеемана (1896г.).

В постоянном электрическом поле img213 атом поляризуется, т.е. приобретает электрический дипольный момент

img214,                                                                                                                                          (II.4.25)

где a - поляризуемость атома, и дополнительную энергию

img215.

Здесь mj – квантовое число, определяющее проекцию полного момента импульса электрона на направление вектора img216, j – квантовое число, определяющее величину полного момента импульса электрона. Полный момент импульса электрона есть сумма орбитального и спинового моментов импульса. Формула (II.4.26) определяет квадратичный по полю эффект Штарка, наблюдаемый в многоэлектронных атомах при достаточно большой величине поля ~107 В/м, когда │DEш│~10-4 эВ (величина штарковского расщепления энергетических уровней).

В атоме водорода благодаря вырожденности энергетических уровней по азимутальному числу при не очень больших полях наблюдается линейный по полю эффект Штарка, когда

img217.                                                                                          (II.4.27)

Причем уровень с главным квантовым числом n расщепляется на 2n-1 равноотстоящих подуровней, т.е. полностью снимает вырождение по азимутальному числу .

Эффект Зеемана объясняется тем, что во внешнем магнитном поле атом приобретает дополнительную энергию

img218,                                                                                                                           (II.4.28)

гдеimg219- магнитная индукция и

img220                        (II.4.29)

- проекция магнитного момента атома на направления вектора img221; g – множитель Ланде, зависящий от полного (j) , орбитального () и спинального (s) моментов электрона, mB – магнетон Бора, mj – квантовое число, определяющее проекцию полного момента импульса электрона на направление вектора img222. Число новых энергетических подуровней равно 2j+1, где j – квантовое число, определяющее полный момент импульса электрона. В сильных магнитных полях наблюдается квадратичный по магнитному полю эффект Зеемана.

Если слабые электрическое и магнитное поля выявляют скрытую структуру энергетического спектра (снимают вырождение по энергии), то сильные поля возбуждают качественно новые движения электронов в атоме. Если величина электростатического поля становится сравнимой с величиной внутриатомного электрического поля

img223,                                                                                      (II.4.30)

то деформация кулоновской потенциальной ямы делает потенциальный барьер для атомных электронов конечной толщины, обеспечивающей заметную вероятность туннельного эффекта. Туннельный эффект заключается в переходе электрона из связанного состояния дискретного спектра в состояние сплошного спектра с инфинитным  движением. Иначе говоря, наблюдается автоионизация атома. Если внешнее поле достигает величины

img224,                                                                                                                           (II.4.31)

для состояния с главным квантовым числом n потенциальный барьер вообще исчезает. Автоионизация используется в микроскопии с целью увеличения изображения элементов поверхности твердых тел, для создания ионных источников, применяемых в масс-спектроскопии, наблюдения специфических химических реакций, протекающих только в сильных электростатических полях.

Характерное внутриатомное магнитное поле по порядку величины

img225,                                                                                      (II.4.32)

где img226 – постоянная тонкой структуры,|E1| = 13,6 эВ – энергия ионизации атома водорода в основном состоянии, img227 – магнетон Бора. При B ³ Ba  характер движения атомных электронов качественно меняется. Движение электрона в плоскости, перпендикулярной вектору img228, определяется радиусом его циклотронной орбиты и характеризуется энергетическим спектром уровней Ландау

img229,   N = 0,1,2,… ,                                          (II.4.33)

где img230. Продольное движение (вдоль вектора img231) происходит в одномерном кулоновском потенциале с энергетическим спектром

img232,                                                                                          (II.4.34)

где n* – «эффективное» главное квантовое число, определяемое граничными условиями. В случае g >> 1  n*=1,2,… , а энергетический спектр (II.4.34) подобен энергетическому спектру водородоподобных атомов за исключением основного состояния, энергия которого логарифмически убывает с ростом g.

Интересно отметить, что резонанс периодических поперечных и продольных движений в сильном магнитном поле может привести к стохастическому (случайному) движению электрона. Причина стохастизации заключается в том, что уравнения движения электрона в магнитном поле в отличие от случая электрического поля не допускают разделения переменных, а поэтому не содержат дополнительных интегралов движения в виде констант разделения переменных. Уменьшение числа сохраняющихся интегралов приводит в области сильных полей к неустойчивости и стохастизации движения. Обзор некоторых проблем в изучении эффектов Штарка и Зеемана можно найти в обзоре В.С. Лисица: «Новое в эффектах Штарка и Зеемана для атома водорода» УФН, 1982, т.153, № 3, с.379-421.

В 1947г. У. Лэмб и Р. Ризерфорд экспериментально измерили смещение уровня 2s1/2 относительно уровня 2p1/2 в атоме водорода. Нерелятивистская квантовая механика Шредингера и релятивистская квантовая теория Дирака не объясняют этого сдвига. Теория лэмбовского сдвига была дана Х. Бете в 1948г. на основе использования двух явлений. Во-первых, испускания и поглощения виртуальных фотонов, меняющих массу и магнитный момент электрона. Во-вторых, рождения и аннигиляции электрон-позитронных пар, что изменяет кулоновский потенциал ядра на расстояниях порядка комптоновской длины волны электрона ~10-13м. Виртуальные частицы имеют те же квантовые числа, что и соответствующие реальные частицы, но для которых не выполняется релятивистское соотношение между энергией и импульсом – e2 ¹ p2c2 + m2c4. Возможность такого нарушения вытекает из соотношения неопределенностей. Взаимодействие атома водорода с виртуальными частицами, определяющими свойства физического вакуума, говорит о незамкнутости атомов. Современный расчет сдвига Лэмба базируется на квантовой электродинамике и дает величину лэмбовского сдвига (частоты перехода) между уровнями 2s1/2 и 2p1/2 1057,87 Мгц, что очень хорошо согласуется с экспериментальными результатами.

Процесс рождения электрон-позитронных пар в кулоновском поле ядра играет важную роль в теории сверхтяжелых атомов. Анализ релятивистского уравнения Дирака, которое заменяет уравнение Шредингера в области больших скоростей движения электрона, показал существование решений для 1 £ Z< 170, где Z – порядковый номер элемента, определяющий заряд Zе его ядра. При Z > 170 голое атомное ядро в вакууме является неустойчивым, поскольку его кулоновское поле спонтанно рождает две электрон-позитронные пары, причем два позитрона за счет кулоновских сил отталкивания  уходят на бесконечность и заряд ядра уменьшается на 2e. Критическое значение Zкр. = 170 определяется тем, что в этом случае энергия основного состояния электрона в кулоновском поле ядра становится равной – mc2.

Модель атома водорода стала одной из базовых моделей при создании современной квантовой теории как в отношении развития формального математического аппарата, так и проверки ее предсказаний. Энергетический спектр атома водорода описывается только фундаментальными физическими постоянными и имеет наиболее простой вид, что позволяет его использовать для прецезионных измерений этих постоянных.

Суммарный спин s атома водорода (спин электрона +спин протона) может принимать значения 0 или 1, которым соответствуют разные энергетические уровни. Переходы между этими уровнями порождают линию спектра с длиной волны излучения
l » 21см, которая хорошо известна радиоастрономам. Триплетное состояние с s = 1 является очень устойчивым, его время жизни в вакууме составляет около 30 лет, поэтому водородная линия имеет рекордно малую естественную ширину. Точность измерения частоты водородной линии – не менее 12 знаков.

nH = 1420405751,7860±0,0046 Гц,

из которых только 6 могут быть вычислены методами квантовой электродинамики (релятивистской квантовой теории физических систем с бесконечным числом степеней свободы, к которым относятся физические поля и элементарные частицы благодаря их универсальному свойству взаимопревращаемости). Для более точного расчета необходимо знать распределение поля внутри протона, уметь точно рассчитывать эффект отдачи и т.д. Таким образом, современная точность измерения nH служит стимулом для дальнейших теоретических исследований. Водородный квантовый генератор с частотой излучения nH используется в квантовых стандартах частоты, являющихся основной частью атомных часов. Эти часы позволяют воспроизводить секунду с относительной погрешностью 10-13 (уход на несколько секунд за миллион лет).

Для изучения формы и строения ядра, а также распределения электрического заряда внутри ядра используются мезоатомы, где один из электронов замещен отрицательно заряженным мюоном μ-. Мюоны нестабильные заряженные частицы со спином 1/2, временем жизни 2,2.10-6c и массой mm » 207m, где m – масса электрона. Наиболее изучены мезоатомы, состоящие из ядра водорода и мюона. Боровский радиус мюона в mm/m раз меньше, чем у электрона атома водорода. Спектр излучения мюония несет информацию о характеристиках ядра, поскольку в основном состоянии μ- значительную часть времени проводит в ядре.

Другая водородоподобная система – позитроний состоит из электрона и позитрона (античастицы электрона). Размеры позитрония примерно в два раза превышают размеры атома водорода. Это самый легкий атом, который, однако, является нестабильным, поскольку за время ~10-10с происходит аннигиляция электрона и позитрона с испускателем g-кванта. Позитроний – простейшая система, связанная чисто электромагнитными силами без участия сильного взаимодействия, поэтому изучение его характеристик представляет большой интерес для проверки основных положений квантовой электродинамики. Позитроний образуется при столкновении медленных позитронов с атомами вещества и захвате позитроном атомного электрона.

Мюоний – связанная система, состоящая из положительно заряженного мюона μ+ и электрона. Строение мюона аналогично строению атома водорода, в котором протон заменен мюоном μ+. Мюоний образуется при столкновениях мюона μ+ с атомами путем присоединения одного из электронов атома. Большой интерес представляет изучение химических свойств мюония, а также измерения его энергетического спектра с целью проверки квантовой электродинамики.

  1. Энергия взаимодействия электромагнитного поля с атомом. Оператор взаимодействия. Полуклассическое приближение.

  2. Теория возмущений. Взаимодейств

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.04 секунд 4,204,210 уникальных посетителей