December 10 2016 04:57:32
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Эффективное сечение столкновений
Начала термодинамики

На первой стадии процесса релаксации эволюция одночастичной функции распределения по скоростям может рассматриваться как обусловленная абсолютно упругими парными столкновениями частиц, подчиняющимися законам сохранения импульса и кинетической энергии. Эти столкновения описываются с помощью интеграла столкновений, входящего в кинетическое уравнение Больцмана.

Для характеристики столкновений частиц в классической динамике используют следующие параметры.

  1. Газокинетический диаметр img552 частицы, равный наименьшему расстоянию, на которое могут сблизиться центры масс частиц при их столкновениях. Если частицы рассматривать как абсолютно жёсткие шарики радиусом а, газокинетический параметр

img553 .                                                 (11.1)

При учёте внутренней структуры атомов и молекул в виде электронных оболочек величина img554 зависит от скоростей сталкивающихся частиц, поскольку при столкновении происходит деформация внешних электронных оболочек и уменьшение эффективного размера частиц. В результате возникает зависимость величины img555 от температуры газа, которую можно измерить экспериментально. Для реальных атомов и молекул величина img556 порядка нескольких ангстрем (img557)

  1. Эффективное сечение столкновений равно площади круга радиусом img558

img559.                                              (11.2)

Если прицельное расстояние налетающей частицы, которое равно расстоянию между центрами двух частиц в плоскости, перпендикулярной к вектору скорости налетающей частицы, лежит в круге площадью img560, столкновение     этих частиц обязательно произойдёт. Здесь предполагается, что центр этого круга совпадает с центром второй частицы, считающейся неподвижная.

3)   Полное число столкновений частиц в единицу времени, или частота столкновений, Z равняется полному числу частиц в трубке столкновений длиной img561  с площадью поперечного сечения img562

img563 ,                                           (11.3)

где img564 - среднеквадратичная скорость теплового движения частиц массой m при температуре Т, img565 – постоянная Больцмана , n – концентрация частиц и img566- среднее расстояние, на которое перемещается частица за одну секунду.

4)  Среднее время между двумя последовательными столкновениями частицы

img567 .                                           (11.4)

5)  Средняя длина свободного (без столкновений) пробега частицы, введённая Р. Клаузиусом в 1857г.,

img568 .                                           (11.5)

Формула (11.5) справедлива, если выполняются неравенства

dГ<<r<<λ<<L ,                                       (11.6)

где img569 - среднее расстояние между частицами и L – линейный размер области, занятой газом.

Допустим, что система из N частиц с линейным размером d находится в области с линейным размером L, площадью граничной поверхности S~L2 и объемом V~L3. С данной системой частиц можно связать аналогичные геометрические характеристики: 1) длина LN~Nd цепочки из плотно расположенных частиц, 2) площадь SN~Nd2 суммарной поверхности всех частиц и 3) объем VN~Nd3 области, которую занимают все плотно упакованные частицы.

Если VN<<V и img570>>d, движения частиц по всей области являются независимыми и в макроскопические уравнения входит только объем области V.

В случае SN>>S столкновения между частицами происходят намного чаще, чем столкновения частиц со стенками сосуда. Большая частота столкновений между частицами обеспечивает постоянство температуры во всей области.

При LN>>L цепочка частиц укладывается внутри области очень сложным образом, что приводит к достаточно равномерному распределению частиц по всей области.

Воздух при нормальных условиях в 1 см3 содержит порядка 1019 молекул с линейным размером d~10-8 см. Отсюда получаем, что LN~1011см, SN~103 см2 и VN~10-5 см3.

Столкновения реальных частиц происходят в некоторой пространственной области с линейным размером img571~img572, который зависит от характера взаимодействия частиц. Время столкновения по порядку величины img573~img574. Значения img575 и img576 устанавливают нижние пределы расстояния и временного интервала, рассмотрение которых допустимо в рамках кинетического уравнения Больцмана.

Введение среднего времени img577 между двумя последовательными столкновениями частицы позволяет получить грубую оценку интеграла столкновений img578, входящего в кинетическое уравнение Больцмана,

img579 .                                          (11.7)

Здесь f – одночастичная функция распределения в некоторый момент времени t, img580 - равновесная одночастичная функция распределения, подчиняющаяся закону распределения Максвелла по скоростям. Таким образом, величину img581 можно считать временем релаксации img582 на первой стадии установления равновесия.

Более точная оценка этого времени релаксации, выполненная Н.С. Крыловым, даёт

img583,                                (11.8)

где img584 - средняя величина импульса частиц, img585 - неопределённость импульса частиц в начальном состоянии, λ - средняя длина свободного пробега и a – радиус частиц, считающихся абсолютно жёсткими шариками с гладкой поверхностью. Формула (11.8) получена при рассмотрении только абсолютно упругих столкновений частиц.

Микроскопическое тепловое движение частиц газа  и жидкости может иметь макроскопическое проявление в виде броуновского движения макроскопических частиц с линейными размерами порядка 1 мкм. Случайные блуждания таких частиц, взвешенных в газе или жидкости, впервые наблюдал в микроскоп Р.Броун в 1827 г. Это случайное движение взвешенных макрочастиц, называемое броуновским, обусловлено тепловыми флуктуациями скоростей теплового движения газа и жидкости. Благодаря этим флуктуациям  импульс img586, непередаваемый макроскопической частице при ее столкновениях с молекулами среды, равен нулю лишь в среднем, за достаточно большой промежуток времени.

В результате таких не полностью скомпенсированных соударений макроскопическая частица участвует в тепловом движении, а её средняя кинетическая энергия описывается формулой

img587 ,                                        (11.9)

где Т - температура среды. В метрологии броуновское движение чувствительного элемента измерительного прибора ограничивает точность проводимых измерений.

Современная физическая теория броуновского движения на основе классических уравнений динамики частицы с учётом действия случайных сил, связанных с соударениями частиц, была создана в 1904-6 гг. А. Эйнштейном и М. Смолуховским.  Если допустить, что смещения частицы при броуновском движении равновероятны по всем направлениям, то среднее по времени значение квадрата смещения l частицы в любом направлении описывается формулой Эйнштейна

img588 .                                      (11.10)

Здесь img589 - время наблюдения и D – коэффициент диффузии для частицы в данной среде. При выводе формулы (11.10) предполагается, что img590>> img591 - средней длины свободного пробега частиц среды.

В частном случае сферической частицы радиусом а, находящейся в среде с вязкостью img592 и температурой T, коэффициент диффузии

img593 .                                      (11.11)

Здесь считается, что на движущуюся со скоростью img594 частицу  со стороны среды действует сила торможения img595, описываемая формулой Стокса,

                                                             img596.                                    (11.12)

Измеряя img597 и определяя коэффициент диффузии D с помощью (11.10), по известным значениям img598, img599 и а можно на основе выражения (11.11)найти постоянную Больцмана k и число Авогадро img600, где R – универсальная газовая постоянная. Такого рода эксперименты по определению числа Авогадро, выполненные Ф. Перреном, были удостоены в 1926г. Нобелевской премии по физике с формулировкой ”за исследования в области дискретного строения вещества”.

Интересно отметить, что ломаная траектория движения броуновской частицы имеет очень сложную пространственную структуру и относится к так называемым фрактальным кривым. Фрактальные кривые обладают следующими свойствами: 1) ни в одной их точке нельзя построить касательную, 2) их геометрическая структура самоподобна при изменениях пространственного масштаба рассмотрения и 3) пространственная размерность, как правило, является дробной и превышает 1. Пространственная размерность броуновской траектории равна 2. Это означает, что при увеличении пространственного разрешения в K раз,  для построения траектории движения броуновской частицы потребуется в K2 раз больше элементарных звеньев. Поскольку размерность броуновской траектории такая же, как у плоскости, то она могла бы всюду плотно заполнить двумерную плоскость.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.04 секунд 4,204,136 уникальных посетителей