 Другим интересным примером системы фермионов являются нейтронные звезды, открытые в 1967г. и имеющие плотность вещества ~1015г/см3, что в несколько раз превышает плотность внутриядерного вещества. Магнитное поле на поверхности нейтронных звезд может достигать величин B ≈ 1012Тл, а температура горячих нейтронных звезд T ≈ 1011К. Для описания состояния нейтронной звезды используются модели ферми-газа, ферми-жидкости и ферми-кристалла.
Рассмотрим подробнее свойства свободных электронов металла. В простейшем случае взаимодействие с кристаллической решеткой свободных электронов, которые могут свободно перемещаться по всему объему кристалла, приводит к образованию «потенциальной ямы», ограничивающей движение электронов. Если не учитывать кулоновское взаимодействие между свободными электронами и периодичность кристаллической решетки, а также считать, что потенциальная яма бесконечно глубокая и имеет прямоугольную форму, то энергетический спектр одного электрона в такой яме описывается выражением
где L1,L2,L3 – линейные размеры ямы вдоль координатных осей OX, OY и OZ соответственно, n1,n2,n3 = 1,2,3,… . Таким образом, энергетический спектр электрона в этой трехмерной бесконечно глубокой потенциальной яме является дискретным, причем наименьшая энергия, соответствующая основному состоянию, получается при n1 = n2 = n3 = 1.
Анализ многочастичной задачи удобно начинать с рассмотрения основного состояния системы при абсолютном нуле температуры, когда распределение Ферми-Дирака принимает вид
Здесь μ = εF – энергия Ферми, равная максимальной энергии свободных электронов при T = 0К. Она определяется из условия
где N – полное число свободных электронов металла, множитель 2 связан с тем, что на одном энергетическом уровне могут находиться два электрона с противоположно ориентированными спинами.
При достаточно высокой плотности квантовых состояний Z(ε) в (II.6.27) можно перейти от суммирования к интегрированию по энергии от 0 до εmax = εF:
где плотность состояния определяется на основе решения стационарного уравнения Шредингера и имеет вид
Здесь V – объем металла.
Выполняя (II.6.28) интегрирование, легко получить энергию Ферми
где n = N/V – плотность свободных электронов. Полная энергия свободных электронов
и средняя энергия одного электрона
Формулы (II.6.30) – (II.6.32) описывают кинетическую энергию квантового движения свободных электроном при абсолютном нуле температуры. С этим движением связано давление
Для хороших металлов
т. е. максимальная скорость свободных электронов при T = 0К на 2 порядка выше скорости звука в металле, а давление электронного газа на 4 порядка превышает атмосферное давление. В случае нейтронных звезд давление газа нейтронов, связанное с их квантовым движением, обеспечивает гидродинамическую устойчивость этих звезд.
|