December 10 2016 12:46:51
School Nogma
Навигация
 
Авторизация
Логин

Пароль



Вы не зарегистрированы?
Нажмите здесь для регистрации .

Забыли пароль?
Запросите новый здесь.
 
Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
Физические основы механики
  1. Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний

Рассмотрим колебания, которые поддерживаются в системе внешней гармонической силой F = F0Coswt. Такие колебания называются вынужденными.

Обратимся вновь к пружинному маятнику. Вспомним уравнения движения этого осциллятора:

img761 — уравнение собственных незатухающих колебаний. В системе действует одна упругая сила Fупр = –kx;

img762 — собственные затухающие колебания. В системе появилась сила вязкого сопротивления, пропорциональная скорости img763.

В случае вынужденных колебаний кроме двух названных сил — упругой и силы сопротивления, на систему действует ещё одна сила: F = F0Coswt.

img764 — дифференциальное уравнение вынужденных колебаний пружинного маятника. Это уравнение движения принято записывать так:

img765.

Введя знакомые обозначения img766 и img767, представим уравнение движения осциллятора окончательно в таком виде:

img768.                  (13.14)

Опыт показывает, что под действием гармонического возмущающего усилия F = F0Coswt осциллятор совершает гармонические колебания с частотой вынуждающей силы w:

х = ACos(wt + a).                       (13.15)

Если частота w известна, то задача сводится к определению амплитуды вынужденных колебаний А и начальной фазы a.

Продифференцировав функцию (13.15), подставим ее в уравнение (13.14):

img769.

Теперь воспользуемся известными тригонометрическими формулами для косинуса и синуса суммы двух углов:

img770

Это уравнение представляет собой сумму двух гармонических слагаемых

а Cos wt + b Sin wt = 0.

Последнее равенство возможно в единственном случае, если постоянные во времени a и b равны нулю: а = 0, b = 0. Это означает, что справедливы следующие уравнения:

img771,             (13.16)

img772.                  (13.17)

Эти два уравнения содержат только две неизвестные величины: амплитуду А и фазу a вынужденного колебания. Для отыскания амплитуды А можно домножить уравнение (13.16) на img773, а уравнение (13.17) — на Cosa. Вычтя теперь из первого уравнения второе, получим Sina:

img774,

img775.                  (13.18)

Воспользовавшись этим результатом в уравнении (13.17), найдем Cosa:

img776.             (13.19)

Возведем уравнения (13.18) и (13.19) в квадрат и сложим:

img777

Последнее уравнение решим относительно искомой амплитуды колебаний А:

img778.             (13.20)

Фазовый сдвиг смещения x относительно возмущающего усилия F найдём непосредственно из уравнения (13.17):

img779.                  (13.21)

Обратимся к анализу полученных результатов.

  1. Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде возмущающего усилия F0.

  2. Если w = 0 — случай приложения статической нагрузки F0, смещение груза будет определяться жёсткостью пружины k:

img780.

  1. При высоких частотах внешнего усилия (w→¥), амплитуда колебаний А→0.

  2. Для отыскания частоты wрез, при которой амплитуда достигает наибольшего значения Арез, нужно найти минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе уравнения (13.20). Продифференцировав это выражение по w, и приравняв результат нулю, получим условие, определяющее wрез:

img781.

Отсюда следует, что резонансная частота wрез меньше частоты собственных незатухающих колебаний w0:

img782.                  (13.22)

Используя это значение в (13.20), рассчитаем резонансную амплитуду:

img783.             (13.23)

  1. Если вязкое сопротивление отсутствует, коэффициент затухания d = img784 = 0 и резонансная амплитуда устремляется в бесконечность. При этом условии резонансная частота, как следует из (13.22), равна частоте собственных незатухающих колебаний осциллятора wрез = w0.

  2. С увеличением коэффициента затухания d, резонансная частота и амплитуда колебаний уменьшаются.

Все эти закономерности графически представлены на рис. 13.4.

img785

Рис. 13.4

  1. При слабом затухании, когда img786, резонансная амплитуда равна

img787.

Разделим это выражение на img788 — смещение под действием постоянной силы:

img789.

Таким образом, добротность осциллятора численно равна отношению резонансной амплитуды к смещению под действием постоянной силы.

  1. На рис. 13.5 представлена зависимость фазового сдвига вынужденных колебаний и вынуждающей силы — график функции (13.21). С увеличением частоты вынуждающего усилия a растет, меняясь от 0 до p. В резонансе фазовый сдвиг равен img790. Эта зависимость a = a(w) меняется с изменением коэффициента затухания.

img791

Рис. 13.5

Лекция 14 «Элементы специальной теории относительности»

План лекции.

1. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца.

2. Динамика релятивистского движения.

3. Закон эквивалентности массы и энергии.

В классической механике Ньютона мы изучали законы движения макротел со скоростями, далекими от скорости света (с = 3 × 108 м/с). Такие движения называются нерелятивистскими (классическими), в отличие от релятивистских движений, скорость которых соизмерима со скоростью света. Теоретической основой релятивистской механики является специальная (частная) теория относительности (СТО). Предваряя рассмотрение основных положений этой теории, отметим два важных момента:

  1. Релятивистская механика включает в себя и классическую механику как предельный случай движения с малыми скоростями.

  2. Все положения СТО имеют сегодня надежное экспериментальное подтверждение.

Комментарии
Нет комментариев.
Добавить комментарий
Пожалуйста, залогиньтесь для добавления комментария.
Рейтинги
Рейтинг доступен только для пользователей.

Пожалуйста, авторизуйтесьили зарегистрируйтесь для голосования.

Нет данных для оценки.

Время загрузки: 0.07 секунд 4,205,048 уникальных посетителей